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黄冈中学网校达州分校 9 53空间向量基本定理 黄冈中学网校达州分校 教学目标 掌握空间向量基本定理及其推论 理解空间向量的基底 基向量的概念 教学重点 向量的分解 空间向量基本定理及其推论 教学难点 空间作图 黄冈中学网校达州分校 复习 共线向量定理共面向量定理 黄冈中学网校达州分校 平面向量的基本定理 如果 是平面内两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数t1 t2使 O C M N 对向量a进行分解 黄冈中学网校达州分校 二 空间向量的基本定理 如果三个向量不共面 那么对空间任一向量 存在一个唯一的有序实数对x y z 使 A B D C O 思路 作 E 黄冈中学网校达州分校 证明 存在性 见课本 唯一性 设另有一组实数x y z 使得p x a y b z c 则有xa yb zc x a y b z c x x a y y b z z c 0 a b c不共面 x x y y z z 0 即x x 且y y 且z z 故实数x y z是唯一的 黄冈中学网校达州分校 由上述定理可知 空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成 我们把 a b c 叫做空间的一个基底 a b c都叫做基向量 说明 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量 零向量与任意非零向量共线 与任意两个非零向量共面 一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 黄冈中学网校达州分校 推论 设点O A B C是不共面的四点 则对空间任一点P 都存在唯一的有序实数对x y z使 O A B C P P P 黄冈中学网校达州分校 例1 已知空间四边形OABC 对角线OB AC M和N分别是OA BC的中点 点G在MN上 且使MG 2GN 试用基底表示向量 B C 解 在 OMG中 黄冈中学网校达州分校 黄冈中学网校达州分校 1 已知向量是空间的一个基底 从中选哪一个向量 一定可以与向量 构成空间的另一个基底 2 如果向量与任何向量都不能构成空间的一个基底 那么之间应有什么关系 练习 黄冈中学网校达州分校 3 O A B C为空间四点 且向量不能构成空间的一个基底 那么点O A B C是否共面 黄冈中学网校达州分校 4 已知空间四边形OABC 点M N分别是边OA BC的中点 且 用表示向量 黄冈中学网校达州分校 5 已知平行六面体OABC O A B C 且 用表示如下向量 1 2 点G是侧面BB C C的中心 黄冈中学网校达州分校 小结 空间向量基本定理也成为空间向量分解定理 它与平面向量基本定理类似 区别仅在于基底中多了一个向量 从而分解结果中多了一 项 证明的思路 步骤也基本相同 空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位
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