偏导数和全微分(2).ppt

1 偏导数的概念和计算 10 2偏导数与全微分 工程和科学技术中 遇到的大部分是多变量的问题 在处理时 往往需要知道在其它变量不变 只有某一个变量变化时 引起的事物的反应 对于二元函数z f x y 如果只有自变量x变化 而自变量y固定 这时它就是x的一元函数 这是对x的导数 就称为二元函数z f x y 对于x的偏导数 偏增量 全增量 其中 定义1设函数z f x y 在点 x0 y0 的某一邻域内有定义 当y固定在y0而x在x0处有增量 x时 相应地函数有增量 如果极限 存在 则称此极限为函数z f x y 在点 x0 y0 处对x的偏导数 记作 同样 函数z f x y 在点 x0 y0 处对y的偏导数为 记作 如果函数z f x y 在区域D内每一点都有对x的偏导数 那么这个偏导数仍是x y的函数 称为z f x y 对x的偏导函数 记为 通常 偏导函数简称为偏导数 同样 函数z f x y 对y的偏导函数也仍是x y的函数 记为 注 1 求z f x y 对x的偏导函数时 将y看成常数 对x求导数 求z f x y 对x的偏导函数时 将x看成常数 对y求导数 3 2 偏导数的符号 是一个整体 不像 可以看成dy除以dx 从偏导数的定义可以清楚地知道 求多元函数的偏导数 求多元函数对哪个变量的偏导数 就是将其他自变量看成常量 而将多元函数看成一元函数的求导即可 偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数 例如三元函数u f x y z 在点 x y z 处对x的偏导数定义为 其中 x y z 是函数u f x y z 的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 解 证 原结论成立 解 例4求函数点O 0 0 处的偏导数 解 根据偏导数定义 有 需要注意的是 一元函数在其可导点上一定连续 这个结论 对于多元函数是不成立的 这是因为各偏导数存在只能保证当P x y 沿着平行坐标轴的方向趋近P0 x0 y0 时 函数值f x y 趋近于f x0 y0 但不能保证当P x y 以任意方式趋近P0 x0 y0 时 f x y 都趋近于f x0 y0 二 二元函数偏导数的几何意义 二元函数z f x y 在点M0 x0 y0 处关于x的偏导数 就是空间曲线z f x y0 即平面y y0与曲面的交线 在点M0 x0 y0 处切线关于x轴正向夹角的正切值 即空间曲线过空间点M0 x0 y0 z0 的切线M0T1对x轴的斜率 关于y的偏导数 就是空间曲线z f x0 y 即平面x x0与曲面的交线 在点M0 x0 y0 处切线关于y轴正方向夹角的正切值 即空间曲线过空间点M0 x0 y0 z0 的切线M0T2对y轴的斜率 x y z O 在平面 上 就是平面 上的曲线 在点 即点 处切线的斜率 在平面 上 就是平面 上的曲线 在点 即点 处切线的斜率 同理 二元函数的偏导数存在 只是表明函数沿x轴和y轴方向是连续的 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续 故由偏导数存在不能推出函数连续 三 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续 偏导数存在连续 一元函数中在某点可导连续 多元函数中在某点偏导数存在连续 二元函数的偏导数存在 只是表明函数沿x轴和y轴方向是连续的 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续 故由偏导数存在不能推出函数连续 四 高阶偏导数 函数z f x y 的偏导数 还是x y的二元函数 如果这两个函数对自变量x和y的偏导数也存在 则称这些偏导数为z f x y 的二阶偏导数 记作 其中第2 4两个偏导数称为混合偏导数 同样我们可得三阶 四阶 以及n阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 注 高阶偏导数还可使用下列记号 解 问题 混合偏导数都相等吗 具备怎样的条件才相等 答 两个混合偏导数相等 这个结论并不是对任何函数都是成立的 解 证明 解 定义如果函数z f x y 在点 x y 的全增量 五 全微分 可表示为 其中而A B不依赖于 x y 仅与x y有关 则称函数z f x y 在点 x y 可微分 而A x B y称为函数z f x y 在点 x y 的全微分 记为dz 即 如果函数在区域D内各点处都可以微分 那么称这函数在D内可微分 可微的必要条件 若 在点 处可微 则其两个偏导数 均存在 且 证明 若函数可微 则 由 的任意性 取 则 即 同理 从而 定理获证 称为函数关于x的偏微分 称为函数关于y的偏微分 函数的全微分等于各偏微分之和 在点 0 0 处有 则 证明 依偏导数的连续性 同理 多元函数连续 可导 可微的关系 习惯上 记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上函数的情况 注 1 讨论函数 若 可微分的方法 则z f x y 在P