傅里叶(Fourier)级数.ppt

一 问题的提出 二 三角级数三角函数系的正交性 三 函数展开成傅里叶级数 第七节傅里叶 Fourier 级数 四 正弦级数余弦级数 本节研究由三角函数组成的级数 三角级数 在实际问题中 有很多周期运动 数学上用周期函数来描述和研究它们 其中正弦函数是一种最常用而简单的周期函数 例如描述简谐振动的函数 一 问题的提出 对于反映较复杂周期运动的非正弦周期函数 能否用较简单的周期函数 三角函数 组成的级数来表示和讨论呢 可用以下不同频率正弦波逐个叠加 类似于函数的幂级数展开 例如矩形波 非正弦周期函数 用正弦函数组成的级数表示 一般地 函数可表示为 物理意义 把一个比较复杂的周期运动看作许多不同频率的简谐振动的叠加 电工学上 这种展开称为谐波分析 二 三角级数三角函数系的正交性 1 三角级数 称为三角级数 2 三角函数系的正交性 三角函数系 三 函数展开成傅里叶级数 问题 1 若能展开 系数是什么 2 展开的条件是什么 1 傅里叶系数 上式两边积分 由正交性 两边同乘以再积分 得 两边同乘以再积分 得 f x 的傅里叶系数 傅里叶级数 2 傅里叶级数的收敛性 问题 若周期为的函数可积 则 1 连续或只有有限个第一类间断点 狄利克雷 Dirichlet 充分条件 收敛定理 则f x 的傅里叶级数收敛 并且 如果它满足在一个周期内 2 至多只有有限个极值点 注 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多 则f x 的傅里叶级数收敛 并且 1 当x是f x 的连续点时 级数收敛于f x 2 当x是f x 的间断点时 级数收敛于 解 所给函数满足狄利克雷充分条件 例1 为周期的矩形脉冲的波形 将其展开为傅里叶级数 以 和函数图象为 所求函数的傅氏展开式为 3 非周期函数的傅里叶展开 作法 并且满足狄氏充分条件 也可展开成傅氏级数 解 所给函数满足狄利克雷充分条件 延拓的周期函数的傅氏级数展开式在 收敛于 例2 展开为傅里叶级数 将函数 所求函数的傅氏展开式为 4 可以利用傅氏展开式求数项级数的和 进一步 若记 四 正弦级数余弦级数 只含有正弦项 的傅里叶级数 称为正弦级数 或只含有常数项和余弦项 或余弦级数 正弦级数 余弦级数 傅氏级数 定理 展开成傅里叶级数时 它的傅里叶系数为 偶函数 同理可证 2 偶函数 定理证毕 奇函数 证明 因此 称为正弦级数 称为余弦级数 解 所给函数满足 例4 成傅氏级数 狄利克雷充分条件 和函数图象 观察两函数图形 解 所给函数满足狄利克雷充分条件 在整个数轴上连续 例5 展开成傅氏级数 其中 是正常数 将周期函数 对于非周期函数 实施奇 偶 延拓后就可以展开成正弦级数或余弦级数 则有如下两种情况 奇延拓 偶延拓 解 1 求正弦级数 将函数 分别展开成正弦级数和余弦级数 例6 2 求余弦级数 1 傅里叶级数 2 傅里叶系数 3 狄利克雷充分条件 4 非周期函数的傅氏展开式 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 5 奇函数和偶函数的傅氏系数 正弦级数与余弦级数 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 小结 傅氏级数的意义 整体逼近 思考题 思考题解答 2 函数 是周期函数在一个