一只小小灯泡.doc

一只小小灯泡，当接通电源，灯泡发出的光，光芒四射，光线分散地射向各方。但若把它装在手电筒内，经过适当的调节，就会射出一束较强的平行光线，这是为什么呢？ 原来手电筒内，在小灯泡后面装有一个反光镜，镜面形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转而成的曲面，叫抛物镜面。灯泡装在焦点处，从焦点发出的光线经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。这是抛物线的光学性质。 抛物线为什么具有这个性质呢？ 光的反射定律：光线从某一方向入射经过某一界面反射出去，入射线、反射线与法线同处一平面，且在界面的同一侧，反射线与入射线在法线两侧，反射角等于入射角。 根据光的反射定律，我们可以证明不仅是抛物线，而且对圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线，都具备下列光学性质：为证明光学性质，先讨论圆锥曲线在某点的切线方程。 一、圆锥曲线的切线方程 1、抛物线上一点的切线方程 已知：点P(x0,y0)为抛物线y2=2px上任一点。 求：抛物线过该点P的切线方程。 解：在抛物线y2=2px上任取一点Q(x0+x,y0+y)，则(y0+y)2=2p(x0+x) ，展开得：y02+2y0y+y2=2px0+x，y02=2px0，y(2 y0+y)=2px， =。即抛物线上过这P、Q两点的割线斜率为：K1=。 显然，当点Q越靠近点P时，P、Q两点的割线越趋近于P点的切线。而当Q越靠近点P时，x、y越靠近于0。当x0，（这时y0）P、Q两点的割线就成为切线，而割线斜率就成为切线的斜率。切线的斜率K=。抛物线在该点的切线方程为：y= (x-x0)+y0，即y0y=p(x+x0)。 2、椭圆上一点的切线方程 已知：点P(x0,y0)为椭圆任上一点。 求：椭圆过该点P的切线方程。 解：在椭圆任取一点Q(x0+x,y0+y)，则 ，展开得 ,由，得，=-。即椭圆上过这P、Q两点的割线斜率为：K1=-，而当Q越靠近点P时，x、y越靠近于0。当x0，（这时y0）P、Q两点的割线就成为切线，而割线斜率就成为切线的斜率。切线的斜率K=-。椭圆在该点的切线方程为：y=-(x-x0)+y0，即。 3、双曲线上一点的切线方程 已知：点P(x0,y0)为双曲线任上一点。 求：双曲线过该点P的切线方程。 解：在双曲线任取一点Q(x0+x,y0+y)，则 ，展开得 ,由，得，=。即双曲线上过这P、Q两点的割线斜率为：K1=，而当Q越靠近点P时，x、y越靠近于0。当x0，（这时y0）P、Q两点的割线就成为切线，而割线斜率就成为切线的斜率。切线的斜率K=。双曲线在该点的切线方程为：y=(x-x0)+y0，即。 二、圆锥曲线的光学性质： 1、抛物线光学性质：从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上任一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴。 下面我们证明这个性质： 已知：P为抛物线上一点，PA平行抛物线对称轴，PF为焦半径，PT为抛物线在点P的切线，PN为法线。 求证：法线PN平分APF。即1=2 证明：设点P(x0，y0)是抛物线y2=2px上任一点，PT和PN是过该点的切线和法线。PA平行于抛物线对称轴。PN把FPA分成1和2两个角，下面要证明1=2，可转化成证明1=2。 抛物线过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)，它的斜率为：KPT=tg=tg1=。 又PA的斜率为KPA=0，PF的斜率为KPF=tan=。 由图可知：2=-。又y02=2px0。 tan2= = = =。 tan1= tan2。又1、2都是0到之间的角。1=2，即1=2。 经过上述证明，我们就可对探照灯为什么射出的光线是一束平行光作出科学的解释。 2、椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆另一个焦点上。 下面证明这个性质： 已知：P为椭圆上一点， PF1、PF2为两个焦半径，PT为椭圆在点P的切线，PN为法线。 求证：法线PN平分F1PF2。即1=2 证明：设点P(x0，y0)是椭圆上的一点，PT和PN是经过该点的切线和法线，PF1和PF2是过点P的两条焦半径。PN分F1PF2为1和2两个角。下面根据两直线的到角公式证明1=2。 过椭圆上点P(x0，y0)的切线方程为：。则法线PN的斜率为KPN=。 设两焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，由斜率公式： KPF1=，KPF2= 。又P是椭圆上的点，b2x02+a2y02=a2b2，且a2-b2=c2。 tan1= 同理可得： tan2= = = tan1=tan2 又1、2都是0到之间的角，所以1=2。 3、双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好象是从另一个焦点(虚焦点)射出的一样。 下面证明这个性质： 已知：P为双曲线上一点， PF1、PF2为两个焦半径，PT为双曲线在点P的切线，PN为法线。 求证：切线PT平分F1PF2。即1=2 证明：设点P(x0，y0)是双曲线上一点，PT和PN是经过该点的切线和法线，PF1和PF2是过点P的两条焦半径。PT分F1PF2为1和2两个角。下面根据两直线的到角公式证明1=2。 过双曲线上点P(x0，y0)的切线方程为：。 则切线PT的斜率为KPT= 。设两焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，由斜率公式：KPF1=，KPF2=。则：又P是双曲线上的点，b2x02-a2y02=a2b2，且a2+b2=c2。 tan1= 同理可得： tan2= tan1=tan2 又1、2都是0到之间的角，所以1=2。 椭圆、双曲线、抛物线的光学性质经常被人们广泛应用于各种设计之中。 三、圆锥曲线光学性质的应用： 1、抛物线光学性质的应用： 探照灯、手电筒、汽车前灯等在灯泡后面都有一个反射镜，即抛物镜面。光线从灯泡（灯泡放在焦点位置）射出，经过反射镜的反射，就成为一束平行的光线射出。 应用抛物线的这个性质，还可以反过来，使一束平行光（如太阳光，调整使之与抛物面对称轴平行）经过抛物面的反射集中于焦点处。人们应用这个原理设计了“太阳灶”来加热热水和食物。在这个太阳灶上装有一个旋转抛物面的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过镜面反射后集中于焦点处，产生了很高的温度，以致于把水烧开或把食物煮熟。 2、椭圆、双曲线光学性质的应用： 椭圆、双曲线的光学性质与抛物线的不同。由于入射角和反射角相等，所以，从椭圆一个焦点发出的光线，经过反射后，都聚焦到另一个焦点上。而从双曲线一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好象是从另一个焦点射出的一样（该焦点称虚焦点）。如电影放影机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面。为使片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝F2与片门F1应位于椭圆的两个焦点处，这