简谐运动的能量、共振.doc

简谐运动的能量、共振主讲：黄冈中学高级教师邢新山一周强化一、一周内容概述通过对简谐运动物体动能和势能转化过程的分析，说明了简谐运动是一机械能守恒的过程。定性地分析了阻尼振动中能量转化情况、介绍了受迫振动的特点，分析了外界驱动力频率等于振动系统固有频率时发生的共振现象的应用和防止。完成了单摆法测重力加速度的学生分组实验。二、重难点知识归纳与讲解（一）简谐运动系统的总机械能任意时刻振动系统的动能和势能的总和，就是振动系统的总机械能。当弹簧振子或单摆在理想化条件(不考虑摩擦和空气阻力)下振动时，由于只有弹力或重力做功，故振动系统的机械能守恒。对于确定的振动系统来说，由于振子或单摆在最大位移处的势能即等于系统的总机械能，振幅越大，表明该振动系统的总机械能也越大。所以，我们说振幅是表示振动强弱的物理量。（二）阻尼振动振动系统受摩擦和其他阻力，即受阻尼作用，系统在振动过程中要克服阻力做功，系统的机械能随时间逐渐减少.振动的振幅也逐渐减小，这种振动称阻尼振动.下图是阻尼振动的图象。（三）受迫振动1、驱动力：作用在振动物体上的周期性外力叫做驱动力。受迫振动：物体在外界驱动力作用下的振动叫做受迫振动。2、受迫振动的特点实验表明，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关。3、共振(1)受迫振动的振幅与驱动力频率的关系实验表明，物体做受迫振动时的振幅跟驱动力频率f与固有频率f0之差有关，固有频率f0与驱动力频率f相差越大，振幅就越小，反之就越大.当固有频率f0与驱动力频率f相等时，振幅最大。(2)共振当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。共振是受迫振动的一种特殊情况。声音的共振现象通常叫做共鸣。共振产生的条件是：f=f0。(3)发生共振时，一个周期内外界提供的能量等于振动系统克服阻尼做功而耗散的能量。(4)共振曲线f策=f固时，A=Am,Am取决于策动力的幅度及阻尼。f策与f固差别越大，物体作受迫振动的振幅A越小。4、共振的利用和防止利用共振和防止共振，都要根据共振产生的条件来进行控制。要利用共振时，就要创造条件使驱动力的频率接近或等于物体的固有频率。要防止共振出现时，就要控制驱动力的频率，使之远离物体的固有频率。（四）单摆法测重力加速度1、实验原理单摆在摆角很小(小于10)时的振动，可看成简谐运动，其固有周期，由此可得g=42l/T2，由实验测出摆长l和周期T，即可算出当地的重力加速度g值。2、实验器材铁架台(带铁夹)，金属小球，细线(1m左右)，秒表，米尺，游标卡尺。3、数据记录与处理(1)记录实验次数摆长l/m全振动次数N总时间t/s周期12345(2)处理平均值法：_。图象法以l作为横轴，以T2为纵轴.描点作出T2-l图象，求出直线斜率k。结果：=-_ 4、注意事项（1）细线材料应不易伸长，且长度一般不应短于1m；小球应选用密度大而体积小的金属球。（2）摆线上端应夹紧在铁夹中，以免摆动过程中摆长发生改变。摆长应是悬点到球心的距离。（3）摆动中最大摆角(摆线偏离竖直方向的夹角)不应超过10，可通过估算振幅的办法掌握。（4）摆球应无初速释放，保证单摆在同一竖直平面内摆动，以免形成圆锥摆。（5）秒表计时从小球某次通过最低点(平衡位置)开始(摆球在最低点的速度最大，经过最低点时间最短。记时较为准确)并记全振动次数为零，以后小球每从同一方向通过最低点时，全振动次数依次为1，2，3，N，数到N次时停表，N不宜过小。三、典例分析例1、如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少?共振时单摆的振幅多大?共振时摆球的最大速度和最大加速度各为多少?(g取10 m/s2)解析：从共振曲线可知，单摆的固有频率f05 Hz，因为,所以，代入数据解得l1 m从共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅Am8 cm设单摆的最大偏角为，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得mvm2mgh又hl(1cos)当很小时1cos2sin2解得vm025 m/s摆球在最大位移处加速度最大，有mgsinmam即amgsing代人数据解得am08 m/s2例2、如图所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，下面说法中正确的是A只有A、C振动周期相等BA的振幅比B小CC的振幅比B的振幅大DA、B、C的振动周期相等解析：A振动起来后水平细绳上的驱动力周期TA2，迫使B、C做受迫振动，受迫振动的频率等于施加的驱动力的频率，所以TATBTC，而TC固2TA,TB固2TA，故C共振，B不共振C的振幅比B的振幅大所以正确选项为CD例3、在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为K，振子质量为M，振动的量大速度为v0，如图所示，当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，则（1）要保持物体和振子一起振动，二者间摩擦因数至少是多少？（2）一起振动时，二者过平衡位置的速度多大？振幅又是多大？分析：放物体前最大回复力的大小F=kA，振动的最大机械能E=Mv02。对于物体来说，所需要的回复力是振子给它的摩擦力，刚放时所需的摩擦力最大，设最大摩擦力为mg，当mgma时一起振动。解答：（1）放物体后，假定一起振动，则可产生的最大加速度a=又由于mgma （2）振动中机械能守恒，过平衡位置时，弹簧为原长，弹性势能为零。(M+m)v2=Mv02v=物体和振子在最大位置处，动能为零。势能最大，这个势能与没放物体前相同，所以弹簧的最大形变应是相同的，即振幅仍为A。说明：本题是以弹簧振子为模型，结合力和能最分析的小型综合题。在认真审题的基础上，从基本概念、规律出发，即可找到正确答案。并应注意到例1介绍的是在两种情况下的运动（即放m前后）。多做这种小型综合题，有助于提高解题能力。例4、如图2所示，在O点悬有一细绳，绳上串着一个小球B，并能顺着绳子滑下，在O点正下方有一半径为R的光滑圆弧轨道，圆心位置恰好在O点，在弧形轨道上接近O处有另一个小球A，令A、B两球同时开始无初速释放，假如A球第一次到达平衡位置时正好能够和B球碰上，则B球与绳之间的摩擦力与B球重力大小之比是多少？（计算时取p2=10，g=10m/s2）分析：圆弧轨道运动的小球A接近O运动，即可看做单摆模型。图2解答：A球作简谐运动，由周期公式得A到O的时间t=B球作匀变速运动从O到O的时间为t=由题意得=解得a=m/s2=8m/s2对于小球B，由牛顿第二定律得mg-f=maf=m(g-a)=0.2说明：建立物理模型的能力很重要，应善于从题目出发，有效地把一个具体实例抽象出我们学过的理论模型。例5、有一个单摆，其摆长l=1.02m，摆球的质量m=0.1kg，从与竖直方向成摆角=4的位置无初速开始运动(如图所示)。问：(1)已知振动的次数n=30次，用了时间t=60.8s，重力加速度g多大? (2)摆球的最大回复力为多大?(3)摆球经过最低点时速度多大? (4)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变?为什么?(取sin4=0.0698，cos4=0.9976，=3.14) 解析：(1)5，单摆做简谐运动，其周期。根据，得(2)最大回复力为F1=mg sin4=0.19.7910.0698N=0.068N。(3)单摆振动过程中，重力势能与动能互相转化，不考虑阻力、机械能守恒，其总机械能E等于摆球在最高处的重力势能Ep或在最低处的动能Ek。故在最低处的速度=0.219m/s(4)秒摆的周期T=2s,设其摆长为l0根据，g不变，则T即故其摆长要缩短ll=ll0=1.02m0.993m=0.027m。答案：（1）9.791m/s2；（2）0.068N；（3）0.219m/s；（4）缩短0.027m.例6、火车在长为12.5m的铁轨上行驶时，由于在铁轨接头处受到撞击而上下振动.如防震弹簧每受104N的力将被压缩20mm，而每个弹簧的实际负荷为5000kg。问车速多大时，弹簧压缩得最强烈?(g=10m/s2)解析：由题可知弹簧振子在做受迫振动，要使弹簧被压缩得最强烈，必然是弹簧振子发生共振，此时必须满足：T驱=T固。根据题意知，防震弹簧的劲度系数为由于每个弹簧的实际负荷为m=5000kg，所以弹簧的固有周期为。铁轨接头撞击力的周期为。当振动最强烈时有T驱=T固。则答案：v=19.9m/s例7、如图所示，把筛子用四根弹簧支承起来，就成为共振筛。共振筛的筛架上安装一个偏心轮，偏心轮由电机带动下发生转动，增大电压可以使电机带动偏心轮的转速加快。筛子在做自由振动时，每次全振动用时2s，在某电压下偏心轮的转速是36r/min，问：(1)筛子的固有频率是多少?偏心轮的驱动力频率是多少? (2)为了使筛子发生共振，达到较大振幅，可以采用什么方法? 解析：（1）筛子自由振动时，每次全振动