数学归纳法的应用.ppt

数学归纳法的应用 天马行空官方博客 数学归纳法在恒等式问题 整除问题 几何问题 归纳猜想问题及不等式问题中有着广泛的应用 天马行空官方博客 例4 用数学归纳法证明 42n 1 3n 2 n N 能被13整除 证明 1 n 1时 42 1 1 31 2 91 能被13整除 2 假设当n k k N 时 42k 1 3k 2能被13整除 当n k 1时 42 k 1 1 3 k 1 2 4 2k 1 2 3 k 2 1 16 42k 1 3k 2 13 3k 2 42k 1 3k 2及13 3k 2均能被13整除 式能被13整除 42 k 1 1 3 k 1 2也能被13整除 即当n k 1时命题仍成立 由1 2 可知 对一切n N 原命题均成立 核心步骤 多退少补 密诀 例5 用数学归纳法证明 x2n y2n能被x y整除 n为正整数 证明 1 n 1时 x2 y2 x y x y 能被x y整除 命题成立 2 假设当n k k N 时有x2k y2k能被x y整除 当n k 1时 由1 2 可知 对一切n N x2n y2n都能被x y整除 x2k y2k x2 y2k x2 y2 x2k y2k 和 x2 y2 都能被x y整除 式也能被x y整除 即 n k 1时命题也成立 核心步骤 多退少补 密诀 例6 求证 当n取正奇数时 xn yn能被x y整除 证明 1 n 1时 x1 y1 x y 能被x y整除 命题成立 2 假设n k k为正奇数 时 有xk yk能被x y整除 当n k 2时 xk 2 yk 2 xk x2 yk y2 xk x2 yk x2 yk x2 yk y2 xk yk x2 yk x2 y2 xk yk x2 yk x y x y 以上两项均能被x y整除 xk 2 yk 2能被x y整除 即当n k 2时命题仍成立 由1 2 可知 对一切正奇数n 都有xn yn能被x y整除 例7 当n k 1时猜想仍正确 由1 2 可知 对一切n N 猜想均正确 例9 当n k 1时 不等式仍成立 由1 2 可知 对一切n N 原不等式均成立 练习 1 求证 n3 5n能被6整除 3 数列 an 和 bn 满足an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 已知a1 1 b1 2 a2 3 求a4 b4 并猜想an bn 用数学归纳法证明 数学归纳法的应用 之二 1 证明整除问题时注意构造的技巧 多退少补 常用增项减项或拆项的方法 2 证明几何问题时注意理清n从k到k 1时几何量的变化情况 3 归纳 猜想 然后证明其正确性 是一种常用的分析问题 解决问题的方法 4 证明不等式时常用放缩法 小结 作业 1 仔细体会 琢磨数学归纳法的运用规律及题型特点 2 完成 创新作业本 中的相关内容 祝同学们学习愉快人人成绩优异 再见 2004 11 20 哥德巴赫猜想 德国数学家哥德巴赫经过观察 发现一个有趣的现象 任何大于5的整数 都可以表示为三个质数的和 他猜想这个命题是正确的 但他本人无法给予证明 1742年6月6日 哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉 欧拉经过反复研究 发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和 于是 欧拉对大于2的偶数逐个加以验算 最后欧拉猜想上述结论是正确的 6