§5二次型及其标准形.ppt_第1页
§5二次型及其标准形.ppt_第2页
§5二次型及其标准形.ppt_第3页
§5二次型及其标准形.ppt_第4页
§5二次型及其标准形.ppt_第5页
已阅读5页，还剩22页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

第五节二次型及其标准型 二次型及其标准形的概念 二次型的表示方法 二次型的矩阵及秩 化二次型为标准形 小结 一 二次型及其标准形的概念 称为二次型 定义1 f称为实二次型 f称为复二次型 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形 或法式 例如 都为二次型 为二次型的标准形 1 用和号表示 对二次型 二 二次型的表示方法 取 于是 则 2 用矩阵表示 其中A为对称矩阵 则二次型可记为 三 二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中 任给一个二次型 就唯一地确定一个对称矩阵 反之 任给一个对 称矩阵 也可唯一地确定一个二次型 这样 二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 对称矩阵A称为二次型f的矩阵 f称为对称矩阵A的二次型 对称矩阵A的秩称为二次型f的秩 解 例 写出二次型 的矩阵 设 四 化二次型为标准形 对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变换 将二次型化为标准形 记 则上述可逆线性变换可记为 代入 有 证明 即为对称矩阵 定义 设A和B是n阶方阵 若有可逆矩阵C 使 则称A与B合同 定理1 任给可逆矩阵C 若A为对称矩阵 则B也为对称矩阵 且有 令 A为对称矩阵 既有 于是 说明 但二次型的矩阵由A变为 准型 就是使 由于对任意的实对称矩阵A 使 即 把此结论应用于 二次型 有 定理2 任给二次型 总有正交变换 使f化为标准形 总有正交矩阵P 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 1 写出二次型的矩阵A 2 求出A的所有特征值 3 求出对应于特征值的特征向量 得 记 5 作正交变换 则f的标准形为 解 1 写出对应的二次型矩阵 并求其特征值 例2 将二次型 通过正交变换化为标准形 从而得特征值 2 求特征向量 3 将特征向量正交化 得正交向量组 解方程 得基础解系 取 解方程 得基础解系 4 将正交向量组单位化 得正交矩阵 令 得 所以 于是所求正交变换为 且有 解 例3 求一个正交变换 把二次型 化为标准形 二次型的矩阵为 它的特征多项式为 二 三 四行分别减去第一行 得 于是A的特征值为 解方程 得基础解系 单位化得 解方程 得正交的基础解系 单位化即得 于是正交变换为 且有 五 小结 1 实二次型的化简问题 在理论和实际中经常遇到 通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系 将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵 而这是已经解决了的问题 2 实二次型的化简 并不局限于使用正交矩阵 根据二次型本身的特点 可以找到某种运算更快 的可逆变换 下一节 我们将介绍另一种方法 格朗日配方法 曲面 求一正交变换 例
人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论