平行四边形的性质定理与判定定理的综合应用.doc

平行四边形的性质定理与判定定理的综合应用郑碧星本文发表在指导自主学习，福建教育出版社出版一书中上节课，全班同学一起学习了平行四边形的判定定理，对“平行四边形ABCD被擦去了一半，只剩下ABC，如何将这个平行四边形重新画出来”这个问题的解决，课后跃彬同学创造性地提出第5种画法，据调查还有第6种构思。为满足学生对该问题继续深入研究的强烈愿望，提高对平行四边形性质定理判定定理的综合运用能力。为此，有了下面一堂课。画法5：作BEAC于E，在AC上截取点F，使CF=AE，作DF、AC于F，使得FD=BE，连结AD、CD，则ABCD是平行四边形（图1）。（为节省时间跃彬一边叙述，我一边画图）。全班同学将羡慕的眼光投向这位平素不轻易开口的同学。下面我们来探讨一下，跃彬同学这一作法是否正确？雅盈同学一气呵成，叙述了整个证明过程：利用：“SAS”证明“ABECFD”得出，AB=CD，BAE=DCF，从而可得AB/CD，据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”知道四边形ABCD是平行四边形。下面将这个问题改编得到：例1：已知ABCD，作BEAC于E，DFAC于F，求证：四边形EBFD是平行四边形（图1）请同学们用不同证法完成。这时同学们争先恐后上台板演，产生了这两种证法：证法1：（过程略）先证RtABERtCDF得BE=DF，再证BE/DF，从而提处四边形EBFD是平行四边形。证法2：连接BD与AC交于点O，先证RtABERtCDF推出AE=CF，再证，OE=OF，OB=OD，从而本题获证。我对这两位同学的证法略作讲评，并对书写作规范化要求。英子同学已迫不急待举手发言：“还可以通过BEODFO，推出BE=DF，OE=OF，从而本题获证。”看来，学生们对平行四边形的性质及判定定理的应用已有一定的掌握，为使学生深入了解几何题目的基本构造，理解题目的条件和结构之间的关系，提高学生理解、探究和运用数学知识的能力，我组织同学对例题进行改编。下面请同学们按小组合作改编例题，并派代表将题目与图形简略写在黑板上，姓名写在图形上方。学生们积极思考，争相上台板演，立即将课堂气氛推向高潮，五分钟后黑板上出现下面四个保持结论不变，改变条件的变式题。（简单表示如下）变式（一） 变式（二）林萍 李智伟条件：在ABCD中， 条件：在ABCD中，BE平分ABC，DF平分ADC。 AE=CF。结论：BEDF是。 结论：BEDF是。变式（三） 变式（四）苏达君 徐耿峰条件：在ABCD中， 条件：在ABCD中，AE=CF AE=CF，BM=DN结论：BEDF是。 结论：MENF是。这时各个小组又投入到紧张的创造中，有的凝神屏息，认真思索，有的急忙在纸上比画着，两分钟后，平时最胆小的巧娜同学也踊跃上台，她认真地写上了下面一题（如图五）。这个题目一出现，同学们深受启发，萍萍同学深深地叹道“咳！我怎没想到E，F也可以在对边上。”灿辉同学则高兴的大叫：“我也有一题了”，箭步冲向讲台。紧接着其他同学自带三角板、直尺，一贯而上。离下课只有五分钟了，黑板上已整齐而有序的排满了一系列图形。当我走上讲台，坐在前排的小个子源鹏同学举手：“老师，我还有一种变式”，原来，在黑板上已经写不下了，我将他的变式题写在黑板最上方（如图十）。变式（五） 变式（六）汤巧娜 胡灿辉条件：在ABCD中， 条件：在ABCD中，EFAC于O，AO=CO AE=CF结论：AECF是。 结论：BEDF是。变式（七） 变式（八）郑晋军 陈萍萍条件：在ABCD中， 条件：在ABCD中，ABE=CDF AEBC于E，CFAD于F结论：BEDF是。 结论：AECF是。变式（九） 变式（十）郑晋军 翁源鹏条件：在ABCD中， 条件：在ABCD中，EM/BD，AE=CF，BM=DN NF/BD，且EN/AC，结论：EMFN是。 结论：EMFN是。然后引导同学作适当归纳。如下：（一）变式（一）到变式（四）保持平行四边形ABCD这一条件不变，对E，F在对角线的不同位置进行改编。（二）变式（五）到变式（九），保持平行四边形ABCD这一条件不变，将E、F创造性的移到对边上的不同位置，进行改编。（三）变式（十）已打破对E、F所在位置的限制，而大胆的过平行四边形ABC