2014届高考总复习基础知识圆锥曲线.doc

1 圆锥曲线 1 若双曲线1 8 2 22 b yx 的一条准线与抛物线xy8 2 的准线重合 则双曲线离心率为 A 2 B 22 C 4 D 24 答案 A 考点 双曲线的性质 抛物线的性质 分析 根据抛物线方程可求得抛物线的准线方程即双曲线的准线方程 从而求得 c 最 后根据离心率公式求得答案 由抛物线xy8 2 可知 p 4 准线方程为x 2 对于双曲线准线方程为 2 2 a x c 2 28ca 4c 双曲线离心率 4 2 8 c e a 故选 A 2 抛物线 2 4xy 上的一点 M 到焦点的距离为 1 则点 M 的纵坐标是 A 16 17 B 16 15 C 8 7 D 0 答案 B 考点 抛物线的性质 分析 根据点 M 到焦点的距离为 1 利用抛物线的定义可推断出 M 到准线距离也为 1 利 用抛物线的方程求得准线方程 从而可求得 M 的纵坐标 根据抛物线的定义可知 M 到焦点的距离为 1 则其到准线距离也为 1 又 抛物线的准线为 1 16 y M 点的纵坐标为 115 1 1616 故选 B 3 点P 3 1 在椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左准线上 过点 P 且方向为 2 5 a 的光 线经直线2 y反射后通过椭圆的左焦点 则这个椭圆的离心率为 A 3 3 B 3 1 C 2 2 D 2 1 答案 A 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 椭圆的性质 2 分析 根据过点 P 且方向为 2 5 a 求得 PQ 的斜率 进而可得直线 PQ 的方程 把 2 y代入可求得 Q 的坐标 根据光线反射的对称性知直线 QF1的斜率从而得直线 QF1的 方程 把0y 代入即可求得焦点坐标 求得c 根据点 P 3 1 在椭圆的左准线上 求得a和c的关系求得a 则椭圆的离心率可得 如图 过点 P 3 1 的方向 2 5 a PQ 5 2 k 则 PQ 的方程为 5 13 2 yx 即52130 x y 与2 y联立求得 Q 9 5 2 由光线反射的对称性知 1 QF 5 2 k QF1为 59 2 25 y x 即5250 xy 令0y 得 F1 1 0 c 1 2 3 a c 则3a 所以椭圆的离心率 3 3 c e a 故选 A 4 在平面直角坐标系xOy中 双曲线中心在原点 焦点在y轴上 一条渐近线方程为 20 xy 则它的离心率为 A 5 B 5 2 C 3 D 2 答案 A 考点 双曲线的性质 分析 根据双曲线中心在原点 焦点在y轴上 一条渐近线方程为20 xy 能够得到 1 2 a b 即2ba abac5 22 5 a c e 故选 A 5 在平面直角坐标系xOy中 已知 ABC 顶点A 4 0 和C 4 0 顶点 B 在椭圆 3 1 925 22 yx 上 则 sinAsinC sinB 答案 5 4 考点 椭圆的定义 正弦定理 分析 利用椭圆定义和正弦定理 得 1052 ca b 2 4 8 sinAsinC sinB 4 5 8 10 b ca 6 在平面直角坐标系xOy中 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦距为 2c 以 O 为圆心 a为半径作圆 M 若过 2 P0 a c 作圆 M 的两条切线相互垂直 则椭圆的离心率为 答案 2 2 考点 椭圆的性质 分析 抓住 OAP 是等腰直角三角形 建立a c的关系 问题即可解决 设切线 PA PB 互相垂直 又半径 OA 垂直于 PA OAP 是等腰直角三角形 2 2 a a c 解得 2 2 c e a 7 如图 在平面直角坐标系xoy中 1212 A A B B为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的四个顶点 F为其右焦点 直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T 线段OT与椭圆的交点 M 恰为线段 OT的中点 则该椭圆的离心率为 答案 2 75 考点 椭圆的基本性质 分析 1212 A A B B为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的四个顶点 F为其右焦点 直线 12 AB的方程为 1 xy ab 直线 1 B F的方程为 1 xy cb 二者联立解得 2 ac b ac T acac 又 点 M 恰为线段OT的中点 2 acb ac M acac 4 又 点 M 在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上 222 22 222 10 1103030 4 caccc caca acacaa 即 2 1030ee 解得 2 75e 8 在平面直角坐标系xOy中 双曲线1 124 22 yx 上一点 M 点 M 的横坐标是 3 则 M 到 双曲线右焦点的距离是 答案 4 考点 双曲线的定义 分析 设d为点 M 到右准线1x 的距离 MF 为 M 到双曲线右焦点的距离 根据双曲 线的定义 得 MF4 2 2 e d 而2d MF 4 9 在平面直角坐标系xOy中 若双曲线 22 2 1 4 xy mm 的离心率为5 则m的值为 答案 2 考点 双曲线的性质 解析 由 22 2 1 4 xy mm 得 22 4 4ambmcmm 2 4 5 cmm e am 即 2 44 0mm 解得 2m 7e 10 双曲线的两条渐近线的方程为 1 916 22 yx 答案 3 xy 4 3 11 抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 包含三角形内部与 2 xy 1 xD 边界 若点是区域内的任意一点 则的取值范围是 yxPDyx2 答案 9 2 1 2 5 12 在平面直角坐标系中 椭圆的标准方程为 右焦点xOyC 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 为 右准线为 短轴的一个端点为 设原点到直线的距离为 到FlBBF 1 dF 的距离为 若 则椭圆的离心率为 l 2 d 12 6dd C 答案 12 3 3 二 解答题 1 已知椭圆的中心在原点 离心率为 一个焦点是 F m 0 m 是大于 0 的常数 1 2 求椭圆的方程 设 Q 是椭圆上的一点 且过点 F Q 的直线l与 y 轴交于点 M 若MQ2 QF 求直 线l的斜率 答案 解 I 设所求椭圆方程是 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 由已知 得 1 2 c cm a 所以2 3am bm 故所求的椭圆方程是1 34 2 2 2 2 m y m x II 设 Q QQ yx 直线 M 0 l yk xmkm 则点 当MQ2QF F 0 M 0 mkm 时由于 由定比分点坐标公式 得 222 22 02201 123123 4 2 99 Q 1 3343 2 6 QQ mmkm xykm mk m mkm mm k 又点在椭圆上所以 解得 0 2 MQ2QF 2 1212 QQ mkm xmykm 当时 于是 222 22 4 1 0 43 mk m k mm 解得 故直线 l 的斜率是 0 62 6 考点 椭圆的标准方程 直线l的斜率 分析 I 由椭圆的中心在原点 离心率为 一个焦点是 F m 0 可用待定系数 1 2 法求出求椭圆的方程 II 分MQ2QF 和MQ2QF 两种情况由比分点坐标公式求解即可 2 已知三点 P 5 2 1 F 6 0 2 F 6 0 求以 1 F 2 F为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程 5 分 设点 P 1 F 2 F关于直线yx 的对称点分别为P 1 F 2 F 求以 1 F 2 F 为焦 点且过点P 的双曲线的标准方程 7 分 答案 解 由题意可设所求椭圆的标准方程为 22 22 1 xy ab a b 0 其半焦距 c 6 2222 12 2PFPF112126 5a 3 5a 222 9bac 所求椭圆的标准方程为 22 1 459 xy 点 P F1 F2关于直线yx 的对称点分别为点P 2 5 1 F 0 6 2 F 0 6 设所求双曲线的标准方程为 22 11 22 11 1 0 0 xy ab ab 由题意知 半焦距 c1 6 2222 112 2P FP F112124 5a 1 2 5a 222 111 36916bca 所求双曲线的标准方程为 22 1 2016 xy 考点 圆锥曲线的综合 待定系数法 分析 根据题意设出所求的椭圆的标准方程 然后代入半焦距 求出a b 最后 写出椭圆标准方程 7 根据三个已知点的坐标 求出关于直线yx 的对称点 设出所求双曲线标 准方程 代入求解即可 3 在平面直角坐标系xoy中 抛物线 C 的顶点在原点 经过点 A 2 2 其焦点 F 在 x轴上 1 求抛物线 C 的标准方程 2 求过点 F 且与直线 OA 垂直的直线的方程 3 设过点M 0 0 mm 的直线交抛物线 C 于 D E 两点 ME 2DM 记 D 和 E 两 点间的距离为 f m 求 f m关于m的表达式 答案 解 1 由题意 可设抛物线 C 的标准方程为 2 2ypx 点 A 2 2 在抛物线 C 上 1p 抛物线 C 的标准方程为 2 2yx 2 由 1 可得焦点 F 的坐标为 1 2 0 又直线 OA 的斜率为 2 1 2 与直线 OA 垂直的直线的斜率为 1 过点 F 且与直线 OA 垂直的直线的方程为 1 01 2 yx 即 1 0 2 xy 3 设点 D 和 E 的坐标分别为 1122 xyxy 直线 DE 的方程为 0yk xmk 将 y xm k 代入 2 2yx 得 2 220kyykm 解得 2 1 2 112mk y k 由 ME 2DM 得 22 1122121mkmk 化简得 2 4 k m 2 222 22 121212 222 4 12 119 DE114 4 mk xxyyyymm kkk 2 3 40 2 f mmm m 考点 抛物线及两点间的距离公式 8 分析 1 设抛物线 C 的标准方程为 2 2ypx 将点 A 的坐标代入即可求出p 从而得 到抛物线 C 的标准方程 2 求出直线 OA 的斜率 即可得到与直线 OA 垂直的直线的斜率 由抛物线 C 的 标准方程可得焦点 F 的坐标 从而根据点斜式方程即可得过点 F 且与直线 OA 垂直的直线 的方程 3 由 ME 2DM 根据两点间的距离公式可求 4 在平面直角坐标系xoy中 如图 已知椭圆1 59 22 yx 的左 右顶 点为 A B 右焦点为 F 设过点 T mt 的直线 TA TB 与椭圆分别 交于点 M 11 yx 22 N x y 其中 m 0 0 0 21 yy 1 设动点 P 满足 22 PFPB4 求点 P 的轨迹 2 设 3 1 2 21 xx 求点 T 的坐标 3 设9 t 求证 直线 MN 必过 x 轴上的一定点 其坐标与 m 无关 答案 解 1 设点 P x y 则 F 2 0 B 3 0 A 3 0 由 22 PFPB4 得 2222 2 3 4 xyxy 化简得 9 2 x 故所求点 P 的轨迹为直线 9 2 x 2 将 3 1 2 21 xx分别代入椭圆方程 以及0 0 21 yy得 M 2 5 3 N 1 3 20 9 直线 MTA 方程为 03 5 23 0 3 yx 即 1 1 3 yx 直线 NTB 方程为 03 201 03 93 yx 即 55 62 yx 联立方程组 解得 7 10 3 x y 9 所以点 T 的坐标为 10 7 3 3 点 T 的坐标为 9 m 直线 MTA 方程为 03 093 yx m 即 3 12 m yx 直线 NTB 方程为 03 093 yx m 即 3 6 m yx 分别与椭圆1 59 22 yx 联立方程组 同时考虑到 12 3 3xx 解得 2 22 3 80 40 M 8080 mm mm 2 22 3 20 20 N 2020 mm mm 当 12 xx 时 直线 MN 方程为 2 22 22 22 22 203 20 2020 4020 3 80 3 20 8020 8020 mm yx mm mm mm mm mm 令0y 解得 1x 此时必过点 D 1 0 当 12 xx 时 直线 MN 方程为 1x 与 x 轴交点为 D 1 0 所以直线 MN 必过x轴上的一定点 D 1 0 考点 轨迹方程 直线与圆锥曲线的综合问题 分析 1 设点 P x y 由两点距离公式将 22 PFPB4 变成坐标表示式 整理即 得点 P 的轨迹方程 2 将 3 1 2 21 xx分别代入椭圆方程 解出点 M 与点 N 的坐标由两点式写出 直线 AM 与直线 BN 的方程联立解出交点 T 的坐标 3 求出直线方程的参数表达式 然后求出其与x的交点的坐标 得到其横坐标 为一个常数 从而说明直线过x轴上的定点 还可以这样证明 根据特殊情况即直线与x轴垂直时的情况求出定点 然后证明 不垂直于x轴时两线 DM 与 DN 斜率相等 说明直线 MN 过该定点 5 如图 在平面直角坐标系xOy中 M N 分别是椭圆 1 24 22 yx 的顶点 过坐标原点的直线交椭圆于 P A 两点 x y B P O A M N 10 其中 P 在第一象限 过 P 作x轴的垂线 垂足为 C 连接 AC 并延长交椭圆于点 B 设直 线 PA 的斜率为k 1 当直线 PA 平分线段 MN 时 求k的值 2 当k 2 时 求点 P 到直线 AB 的距离d 3 对任意k 0 求证 PA PB 答案 解 1 由题意知 2 2 ba 故M2 0 N 0 2 线段 MN 的中点的坐标为 2 2 1 由于直线 PA 平分线段 MN 故直线 PA 过线段 MN 的中点 又直线 PA 过坐标原点 2 2 1 2 2 k 2 直线 PA 的方程为xy2 代入椭圆方程得1 2 4 4 22 xx 解得 3 2 x 2 424 P A 3 333 于是 2 C 0 3 直线 AC 的斜率为1 3 2 3 2 3 4 0 直线 AB 的方程为0 3 2 yx 3 22 2 3 2 3 4 3 2 d 3 证明 将直线 PA 的方程为kxy 代入1 24 22 yx 解得 2 21 2 k x 记 2 21 2 k 则 P A k k 于是 C 0 直线 AB 的斜率为 2 0kk 直线 AB 的方程为 2 x k y 代入椭圆方程得0 23 2 2 22222 kxkxk 解得 11 2 2 2 23 k k x 或 x 2 2 23 2 3 2 2 k k k k B 于是直线 PB 的斜率为 k k k k k k k 1 2 23 2 2 2 2 3 1 1 1 kk 所以 PA PB 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程与几何性质 直线的斜率及其方程 点到直线距离公式 直线的垂直关系的判断 共线问题 点在曲线上的性质 分析 1 由题设写出点 M N 的坐标 求出线段 MN 中点坐标 根据线 PA 过原点和 斜率公式 即可求出k的值 2 写出直线 PA 的方程 代入椭圆 求出点 P A 的坐标 求出直线 AB 的方程 根据点到直线的距离公式 即可求得点 P 到直线 AB 的距离d 3 要证 PA PB 只需证直线 PB AB 的斜率之积为 1 根据题意求出它们的 斜率 即证得结果 6 如图 建立平面直角坐标系xoy x轴在地平面上 y轴垂直于地平面 单位长度为1 千 米 某炮位于坐标原点 已知炮弹发射后的轨迹在方程 22 1 1 0 20 ykxkxk 表示的曲线 上 其中k与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 1 求炮的最大射程 2 设在第一象限有一飞行物 忽略其大小 其飞行高度为3 2 千米 试问它的横坐标 a不超过多少时 炮弹可以击中它 请说明理由 12 答案 解 1 在 22 1 1 0 20 ykxkxk 中 令0y 得 22 1 1 0 20 kxkx 由实际意义和题设条件知00 x k 2 202020 10 1 12 k x k k k 当且仅当 1k时取等号 炮的最大射程是 10 千米 2 0a 炮弹可以击中目标等价于存在0k 使 22 1 1 3 2 20 kaka 成立 即关于k的方程 222 2064 0a kaka 有正根 由 2 22 204640aaa 得6a 此时 2 22 2 2020464 0 2 aaaa k a 不考虑另一根 当a不超过 6 千米时 炮弹可以击中目标 考点 函数 方程和基本不等式的应用 解析 1 求炮的最大射程即求 22 1 1 0 20 ykxkxk 与x轴的横坐标 求出后应 用基本不等式求解 2 求炮弹击中目标时的横坐标的最大值 由一元二次方程根的判别式求解 7 如图 在平面直角坐标系xoy中 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 1 0 Fc 2 0 F c 已知 1 e 和 3 2 e 都在椭圆上 其中e为椭圆的离心率 1 求椭圆的方程 2 设 A B是椭圆上位于x轴上方的两点 且直线 1 AF与直线 2 BF平行 2 AF与 1 BF交 于点 P i 若 12 6 2 AFBF 求直线 1 AF的斜率 ii 求证 12 PFPF 是定值 13 答案 解 1 由题设知 222 c abce a 由点 1 e 在椭圆上 得 222 22222222 22222 11 1 1 1 ec bca baa bb abaa b 22 1ca 由点 3 2 e 在椭圆上 得 22 222 422 2244 33 22 13 11144 0 2 14 eca aaa abaa 椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 2 由 1 得 1 1 0 F 2 1 0 F 又 1 AF 2 BF 设 1 AF 2 BF的方程分别为 1 1my xmy x 112212 00A xyB xyy y 2 22 1 22 1 111 2 11 221 221 0 2 2 1 x mmy mymyy m myx 22 2 222 22 11111 22 211 22 10 1 22 mm m mm AFxymyym mm 同理 22 2 2 211 2 mm m BF m i 由 得 2 12 2 21 2 m m AFBF m 解 2 2 216 22 m m m 得 2 m 2 14 注意到0m 2m 直线 1 AF的斜率为 12 2m ii 证明 1 AF 2 BF 2 11 BFPB PFAF 即 2121 1111 11 BFPBPFBFAFPB PFAFPFAF 1 11 12 AF PFBF AFBF 由点B在椭圆上知 12 2 2BFBF 1 12 12 2 2 AF PFBF AFBF 同理 2 21 12 2 2 BF PFAF AFBF 122 1221 121212 2 2 22 22 2 AFBFAF BF PFPFBFAF AFBFAFBFAFBF A 由 得 2 1 2 2 21 2 m AFBF m 2 2 1 2 m AF BF m A 12 23 2 2 2 22 PFPF 12 PFPF 是定值 考点 椭圆的性质 直线方程 两点间的距离公式 解析 1 根据椭圆的性质和已知 1 e 和 3 2 e 都在椭圆上列式求解 2 根据已知条件 12 6 2 AFBF 用待定系数法求解 8 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥中 平面平面 过ABCS