4.1空间图形基本关系的认识

第3节空间图形的基本关系与公理 最新考纲1 理解空间直线 平面位置关系的定义 2 了解可以作为推理依据的公理和定理 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 知识梳理 1 空间图形的公理 1 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 即直线在平面内 2 公理2 经过 的三点 有且只有一个平面 即可以确定一个平面 3 公理3 如果两个不重合的平面有 公共点 那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 两点 不在同一条直线上 一个 4 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行 推论1 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 5 等角定理空间中 如果两个角的两条边分别对应平行 那么这两个角 相等或互补 2 空间点 直线 平面之间的位置关系 3 异面直线所成的角 1 定义 过空间任意一点P分别引两条异面直线a b的平行线l1 l2 a l1 b l2 这两条相交直线所成的锐角 或直角 就是异面直线a b所成的角 微点提醒 1 空间中两个角的两边分别对应平行 则这两个角相等或互补 2 异面直线的判定 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 3 两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时 容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角 也可能等于其补角 基础自测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 两个平面 有一个公共点A 就说 相交于过A点的任意一条直线 2 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 3 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 4 若直线a不平行于平面 且a 则 内的所有直线与a异面 解析 1 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 故错误 3 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面相交或重合 故错误 4 由于a不平行于平面 且a 则a与平面 相交 故平面 内有与a相交的直线 故错误 答案 1 2 3 4 2 必修2P28A4改编 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB AD的中点 则异面直线B1C与EF所成角的大小为 A 30 B 45 C 60 D 90 解析连接B1D1 D1C 则B1D1 EF 故 D1B1C为所求的角 又B1D1 B1C D1C D1B1C 60 答案C 3 必修2P26例1改编 已知空间四边形的两条对角线相互垂直 顺次连接四边中点的四边形一定是 A 梯形B 矩形C 菱形D 正方形 解析如图所示 易证四边形EFGH为平行四边形 因为E F分别为AB BC的中点 所以EF AC 又FG BD 所以 EFG或其补角为AC与BD所成的角 而AC与BD所成的角为90 所以 EFG 90 故四边形EFGH为矩形 答案B 4 2019 萍乡调研 是一个平面 m n是两条直线 A是一个点 若m n 且A m A 则m n的位置关系不可能是 A 垂直B 相交C 异面D 平行解析依题意 m A n m与n异面 相交 垂直是相交的特例 一定不平行 答案D 5 一题多解 2017 全国 卷 如图 在下列四个正方体中 A B为正方体的两个顶点 M N Q为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直线AB与平面MNQ不平行的是 解析法一对于选项B 如图 1 所示 连接CD 因为AB CD M Q分别是所在棱的中点 所以MQ CD 所以AB MQ 又AB 平面MNQ MQ 面MNQ 所以AB 平面MNQ 同理可证选项C D中均有AB 平面MNQ 因此A项中直线AB与平面MNQ不平行 图 1 图 2 法二对于选项A 其中O为BC的中点 如图 2 所示 连接OQ 则OQ AB 因为OQ与平面MNQ有交点 所以AB与平面MNQ有交点 即AB与平面MNQ不平行 答案A 6 2018 西安调研 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为棱AA1 CC1的中点 则在空间中与三条直线A1D1 EF CD都相交的直线有 条 解析在EF上任意取一点M 如图 直线A1D1与M确定一个平面 这个平面与CD有且仅有1个交点N 当M取不同的位置就确定不同的平面 从而与CD有不同的交点N 而直线MN与这3条异面直线都有交点 故在空间中与三条直线A1D1 EF CD都相交的直线有无数条 答案无数 考点一空间图形的公理及应用 例1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB和AA1的中点 求证 1 E C D1 F四点共面 2 CE D1F DA三线共点 证明 1 如图 连接CD1 EF A1B 因为E F分别是AB和AA1的中点 又因为A1D1綊BC 所以四边形A1BCD1是平行四边形 所以A1B CD1 所以EF CD1 所以EF与CD1确定一个平面 所以E F C D1 即E C D1 F四点共面 所以四边形CD1FE是梯形 所以CE与D1F必相交 设交点为P 则P CE 平面ABCD 且P D1F 平面A1ADD1 所以P 平面ABCD且P 平面A1ADD1 又因为平面ABCD 平面A1ADD1 AD 所以P AD 所以CE D1F DA三线共点 规律方法1 证明点或线共面问题的两种方法 1 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余的线 或点 在这个平面内 2 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证两平面重合 2 证明点共线问题的两种方法 1 先由两点确定一条直线 再证其他各点都在这条直线上 2 直接证明这些点都在同一条特定直线 如某两个平面的交线 上 3 证明线共点问题的常用方法是 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经过该点 训练1 如图 在空间四边形ABCD中 E F分别是AB AD的中点 G H分别在BC CD上 且BG GC DH HC 1 2 1 求证 E F G H四点共面 2 设EG与FH交于点P 求证 P A C三点共线 证明 1 E F分别为AB AD的中点 EF BD GH BD EF GH E F G H四点共面 2 EG FH P P EG EG 平面ABC P 平面ABC 同理P 平面ADC P为平面ABC与平面ADC的公共点 又平面ABC 平面ADC AC P AC P A C三点共线 考点二判断空间直线的位置关系 例2 1 一题多解 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 A l与l1 l2都不相交B l与l1 l2都相交C l至多与l1 l2中的一条相交D l至少与l1 l2中的一条相交 2 将图 1 中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD 如图 2 则在空间四面体ABCD中 AD与BC的位置关系是 A 相交且垂直B 相交但不垂直C 异面且垂直D 异面但不垂直 解析 1 法一由于l与直线l1 l2分别共面 故直线l与l1 l2要么都不相交 要么至少与l1 l2中的一条相交 若l l1 l l2 则l1 l2 这与l1 l2是异面直线矛盾 故l至少与l1 l2中的一条相交 法二如图 1 l1与l2是异面直线 l1与l平行 l2与l相交 故A B不正确 如图 2 l1与l2是异面直线 l1 l2都与l相交 故C不正确 2 折起前AD BC 折起后有AD BD AD DC 所以AD 平面BCD 所以AD BC 又AD与BC不相交 故AD与BC异面且垂直 答案 1 D 2 C 规律方法1 异面直线的判定方法 1 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 由假设出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 2 定理 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线 2 点 线 面位置关系的判定 要注意几何模型的选取 常借助正方体为模型 以正方体为主线直观感知并认识空间点 线 面的位置关系 训练2 1 2019 湘潭调研 下图中 G N M H分别是正三棱柱 两底面为正三角形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线GH MN是异面直线的图形有 A B C D 2 已知空间三条直线l m n 若l与m异面 且l与n异面 则 A m与n异面B m与n相交C m与n平行D m与n异面 相交 平行均有可能 解析 1 由题意 可知题图 中 GH MN 因此直线GH与MN共面 题图 中 G H N三点共面 但M 平面GHN 因此直线GH与MN异面 题图 中 连接MG 则GM HN 因此直线GH与MN共面 题图 中 连接GN G M N三点共面 但H 平面GMN 所以直线GH与MN异面 故选C 2 在如图所示的长方体中 m n1与l都异面 但是m n1 所以A B错误 m n2与l都异面 且m n2也异面 所以C错误 故选D 答案 1 C 2 D 考点三异面直线所成的角多维探究角度1求异面直线所成的角或其三角函数值 答案C 角度2由异面直线所成角求其他量 例3 2 在四面体ABCD中 E F分别是AB CD的中点 若BD AC所成的角为60 且BD AC 1 则EF的长为 解析如图 取BC的中点O 连接OE OF 规律方法用平移法求异面直线所成角的一般步骤 1 作角 用平移法找 或作 出符合题意的角 2 求角 转化为求一个三角形的内角 通过解三角形 求出角的大小 训练3 2019 合肥模拟 三棱锥A BCD的所有棱长都相等 M N分别是棱AD BC的中点 则异面直线BM与AN所成角的余弦值为 解析连接DN 取DN的中点O 连接MO BO M是AD的中点 MO AN BMO 或其补角 是异面直线BM与AN所成的角 设三棱锥A BCD的所有棱长为2 在 BMO中 由余弦定理得 答案D 思维升华 1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直线或点也在这个平面内 即 纳入法 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面的公共点 根据公理3可知这些点在交线上 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理 平