教师招考小学数学专业知识不等式知识点整理.doc

第五章 不等式1、 基本概念（B级理解）不等式：用不等号连接的式子叫做不等式。不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。不等式的解集:组成不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。解简单一元一次不等式组的方法：1、 利用数轴找出几个解集的公共部分。2、 利用规律:同大取大，同小取小；大小小大中间找，大大小小解不了。不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。例题:不等式2x-k0的正整数解是1、2、3，那么k的取值范围是_.答案是2、不等式的基本性质：（B级理解）（1） 对称性或反身性：abbb，bc，则ac；（3） 可加性：aba+cb+c，此法则又称为移项法则；（4） 可乘性：ab，当c0时，acbc；当c0时，acb，cd，则a+cb+d；（2） 正数同向相乘：若ab0，cd0，则acbd。 特例：（3）乘方法则：若ab0，nN+，则；（4）开方法则：若ab0，nN+，则；（5） 倒数法则：若ab0，ab，则。掌握不等式的性质，应注意：（1） 条件与结论间的对应关系，如是“”符号还是“”符号；不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的3、算术平均数与几何平均数（A级掌握）定理1：如果a、bR,那么a2+b22ab，当且仅当a=b时，等号成立。定理2: 如果a、b0,那么a+b或ab，当且仅当a=b时，等号成立。这里a、b均为正数，我们就称为a、b的算术平均数，为a、b的几何平均数。两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的的几何平均数。最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。例题应用：有一张长方形的纸片，它的长和宽分别为32cm和20cm,若将它的四个角各剪去边长为x的小正方形，再把它做成无盖的纸盒，那么x等于多少时，盒子的容积最大？最大容积是多少?解析 利用均值不等式取等号的条件，求出x的值，进而求成容积。设盒子的容积为v,依题得0x10,则V=x(32-2x)(20-2x) =2x(16-x)(20-2x) =2/3.3x(16-x)(20-2x) 0，b0，求证：。分析：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。左-右= 0 左右真题解析:已知a、b、c是三个互不相等的数，且a+=b+=c+求证：a2b2 c2=1解答：a+=b+=c+ a2bc+ac=ab2c+ab=abc2+bca2bc+ac= ab2c+ab abc(a-b)=a(b-c)a2bc+ac= abc2+bcabc(a-c)=c(b-a),ab2c+ab=abc2+bcabc(b-c)=b(c-a),由得（abc）3(a-b)（a-c）（b-c）=abc(b-c)(b-a)(c-a),由题意可知a、b、c都不为0且不相等，化简得a2b2 c2=15、不等式的解法（A级掌握）分式不等式的解法0或0或0或且g（x）00或者且g（x）0无理不等式的解法典型例题：1、解不等式解：原不等式等价于下列两个不等式组的解集的并集：（： ，或 （）：解（）得：，解（）得：原不等式的解集为对数不等式与指数不等式的解法当时；当时。（2）当时；当时。（3）当时；当时。（4）当时；当时。典型例题：1、解不等式解：原不等式等价于 ，或 ，解之得：4x5原不等式的解集为x|4x56、绝对值不等式（一）绝对值不等式的概念及解法含有绝对值的不等式叫做绝对值不等式。绝对值的几何意义：x是指数轴上坐标为x的点到原点的距离；x1-x2是指数轴上坐标分别为x1、x2的两点间的距离。（二）含绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解； 去掉绝对值的主要方法有： （1）公式法：，或（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方典型例题：1、已知，且，求实数的取值范围解：当时，此时满足题意；当时，综上可得，的取值范围为7、实际应用问题：典型例题1：某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件。学校计划需用甲，乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李。 （1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案； （2）如果甲，乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元，1800元，请你选择更省钱的一种租车方案。