2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习配套课件-第四章 三角函数、解三角形 4-8.ppt

4 8解三角形应用举例 最新考纲 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航海问题 物理问题等 2 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线叫仰角 目标视线在水平视线叫俯角 如图 上方 下方 2 方向角 相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 等 3 方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图 4 坡度 坡面与水平面所成的二面角的正切值 正北 3 解三角形应用题的一般步骤 1 阅读理解题意 弄清问题的实际背景 明确已知与未知 理清量与量之间的关系 2 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形问题的模型 3 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解 4 将三角形问题还原为实际问题 注意实际问题中的有关单位问题 近似计算的要求等 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 如图 为了测量隧道口AB的长度 可测量数据a b 进行计算 2 如图 B C D三点在地面同一直线上 DC a 从C D两点测得A点的仰角分别为 和 则可以求出A点距地面的高度AB 3 从A处望B处的仰角为 从B处望A处的俯角为 则 的关系为 180 4 俯角是铅垂线与视线所成的角 其范围为 5 有一长为1的斜坡 它的倾斜角为20 现高不变 将倾斜角改为10 则斜坡长为2cos10 答案 1 2 3 4 5 1 如图 设A B两点在河的两岸 一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C 测出AC的距离为50m ACB 45 CAB 105 后 就可以计算出A B两点的距离为 答案 A 2 若点A在点C的北偏东30 点B在点C的南偏东60 且AC BC 则点A在点B的 A 北偏东15 B 北偏西15 C 北偏东10 D 北偏西10 解析 如图所示 ACB 90 又AC BC CBA 45 而 30 90 45 30 15 点A在点B的北偏西15 答案 B 4 如图所示 为测一树的高度 在地面上选取A B两点 从A B两点分别测得树尖的仰角为30 45 且A B两点间的距离为60m 则树的高度为 m 思维升华 求距离问题的注意事项 1 首先选取适当基线 画出示意图 将实际问题转化成三角形问题 2 明确所求的距离在哪个三角形中 有几个已知元素 3 确定使用正弦定理或余弦定理解三角形 跟踪训练1 1 在相距2千米的A B两点处测量目标C 若 CAB 75 CBA 60 则A C两点之间的距离是 千米 2 已有A船在灯塔C北偏东80 处 且A船到灯塔C的距离为2km B船在灯塔C北偏西40 处 A B两船间的距离为3km 则B船到灯塔C的距离为 km 解析 1 如图所示 题型二测量高度 角度问题 例2 1 如图 测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D 测得 BCD 15 BDC 30 CD 30 并在点C测得塔顶A的仰角为60 则塔高AB等于 答案 1 D 2 A 思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中 三角形可解 则至少要知道这个三角形的一条边长 解题中注意各个角的含义 根据这些角把需要的三角形的内角表示出来 注意不要把角的含义弄错 不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错 跟踪训练2 1 一船以每小时15km的速度向东航行 船在A处看到一个灯塔M在北偏东60 方向 行驶4h后 船到B处 看到这个灯塔在北偏东15 方向 这时船与灯塔的距离为 km 解析 如图所示 依题意有AB 15 4 60km MAB 30 2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 解析 如图所示 某人在C处 AB为塔高 他沿CD前进 CD 40 思维升华 在三角形边角关系相互制约的问题中 基本的解决思路有两种 一是根据正 余弦定理把边的关系都转化为角的关系 通过三角恒等变换解决问题 二是根据正 余弦定理把角的关系都转化为边的关系 通过代数变换解决问题 思想与方法系列6函数思想在解三角形中的应用 典例 12分 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口O北偏西30 且与该港口相距20海里的A处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 思维点拨 1 利用三角形中的余弦定理 将航行距离表示为时间t的函数 将原题转化为函数最值问题 2 注意t的取值范围 温馨提醒 1 三角形中的最值问题 可利用正 余弦定理建立函数模型 或三角函数模型 转化为函数最值问题 2 求最值时要注意自变量的范围 要考虑问题的实际意义 方法与技巧利用解三角形解决实际问题时 1 要理解题意 整合题目条件 画出示意图 建立一个三角形模型 2 要理解仰角 俯角 方位角 方向角等概念 3 三角函数模型中 要确定相应参数和自变量范围 最后还要