幂指函数图象的交点问题.pdf

2 0 0 7 年第 4 6卷第 9 期 数学通报 2 9 幂指函数图象的交点问题 谢 绍义 武汉新洲一 中4 3 0 4 0 0 在教学函数时 有这样一个问题 函数 Y一2 与Y x 2 图象的交点个数为 A 1 B 2 C 3 D 以上都不对 这是一个指数函数与幂函数图象的交点问题 大多数学生通过画草图得出第一象限和第二象限 各有一个交点 选 B 其实上面两个函数 图象在第 一 象限内有两个交点 2 4 4 1 6 正确答案应为 C 这说明仅凭草图找交点是很容易出错的 那么 一 般的指数函数 Y一 a 0 且 a 1 与幂函数 y一 Q 图象的交点情况又如何呢 大家知道 这两个函数图象的交点问题实际就 是方程 a x x 根的问题 显然当 一0时 方程 一 没有实根 函数Y一 a 0 且 a 1 与函数 y一 图象无交点 下面我们用导数法来研究 a 1 时的情形 I 当 的分子 分母都为正奇数时 当 z 0 时 z 0 0 1 所以方程 一 在 一 O 上无实根 当 0 1 所以方 程 一 在 O 1 上无实根 因此只考虑方程 一 z 在 1 上实根情况 因为方程 a x z 等价于方程 l m 一 令 厂 z 一 l n x 则由 z 一 一 得 z g 因为 当 1 z 0 当z g 时 z 1 时 厂 z 0 且 l i m 厂 z 一 l i m 一O 罗比塔法则 所以当 l m 一 即a e 7时 方程 一z 在 1 上有唯一实根 z g 当 0 l m 即 即第二种方式扇形利用率更大 1 口一 a r c t a n 1 1 0 6 5 是利用率大小的分界 厶 线 3 当a 7 c 2 7 c 时 两种方式的最大值相同 故两种方式扇形的利用率相同 本案例亮点之一就是在实践的层面上 让 学 生参与 行为参与 情感参与 认知参与 成为教学 的主线 正像美国著名教育学者 J a c k s o n所提倡的 把学生参与作为一种主动的个体化的学习体验 此 案例通过扇形边角材料的裁剪 利用的展现和对多 种图形方式构成中的几何与三角推理 激发学生探 究新的数学知识的兴趣和欲望 此案例所涉及问题 看似简单 但由于涉及到引参 分类讨论 三角的运 算以及最优化思想来解决实际问题 它更需要学生 具有深入探究问题的精神和综合分析问题的能力 一 个单纯的数学应用问题变成了制作 探究 质 疑 实践 学习活动带来了一系列的生动变化 对于学生而言 这是一次探索活动 反思活动 建构活动及形成性活动而组成的探究性学习 对于 学生认识问题过程中的障碍 思考问题的不全 面性 作 出精心的设计 由扇形圆心角为锐角到 非锐角的过渡 思考问题的单向性 作出细心的设 计 由扇形中裁剪一个最大矩形到数学实验 理 论推导双向思考 思考问题的多样性 作 出巧妙的 设计 由一种裁剪方式过渡到两种裁剪方式 让 学生在障碍中思考 在思考中体验 在体验中收获 参考文献 1 中华人民共和国教育部制订 普通高中数学课程标准 实 验 北京 人 民教育 出版社 2 0 0 3 维普资讯 h t t p w w w l w 23 c o m 论文网 论文大全 h t t p w w w l w 23 c o m 论文网 论文大全 3 0 数学通报 2 0 0 7 年第 4 6 卷第 9 期 1 a P 时 方程 a 一 在 1 o o 上有两不 等实根 z l z 2 且 1 z l P 时 方 程 a 一 在 1 o o 上无实根 当 的分子为正奇数 分母为正偶数时 当 z 0 时 无意义 所以方程a 一 在 一 O 上 无实根 当0 1 时 方程 a 一 的 根与 I中对应的情况完全相同 当 的分子为正偶数 分母为正奇数时 当 z 0时 0 a 1 且a 值由无穷小增加到 1 0 且 值由正无穷大减小到0 所以方程a 一 在 一 O 上有唯一实根 当0 1 时 方程a 一 的根与 I中对应的情况完全相同 当一 的分子 分母都为正奇数时 当z 0 时 0 0 0 时 a 1 且 a 值由1 增加到 正无穷大 0且 值由正无穷大减小到无穷 小 所 以方程 a 一 在 O o o 上有唯一实根 V 当一 的分子为正奇数 分母为正偶数时 当 z0 时 方程 一 的根与 中 对应的情况完全相同 当一1 1 的分子为正偶数 分母为正奇数时 当 z 0 时 方程 a 一 的根与 中对应 的情况 完全相同 当一1 z 0 时 a 1 方程 a 一 在 一1 O 上无实根 当 z 一1 时 因为方程 a x一 等价于方程 l m 一 l n x f L 0L 令g z 一 l n x 由 g z 一 二 一 0得 z一一P 因为 当z 一P 时 g z 0 当一P z 0 所以 g z 在 一C x 一P 上 递减 在 一P 一1 上递增 即当z一一P 时 g z 有 最小值一 又因为g 1 一o z 一1 时g z o 且 l i m g z 一 l i m 一 O 罗 比塔 法则 所 以当 l n a一一 即口一e i时 方程 一 在 一C x 一 1 上有 唯一实 根 z一一 P 当 一 l m 0即 1 口 P 时 方程 a 一 在 一 一 1 上有两不等实根z l z 2 且z l 一P z 2 P i时 方程 a 一 在 一C x 一1 上无实 根 综上所述 指数函数 y一 口 1 与幂函数y 一 为非零有理数 图象的交点个数是 1 若 0 且 的分子为正奇数 当 1 a 时无交点 若 0 且 的分子为正偶数 当 1 a 时有一个交点 2 若 0 且 的分子为奇数 有一个交点 若 0 且 的分子为偶数 当1 a 时有 一 个交点 因 为 一 一 所 以 o n 1 时 的情况就可以转化为上述的六种情况 因此指数函 数 Y a O a 1 与幂函数 y一 为非零有 理数 图象的交点个数是 1 若 0 且 的分子为奇数 当 a 1 时有两个交点 当a 一 时有一个交点 当0 a e 时无交点 若 0 且 的分子为偶数 当 a 1 时有三个 交点 当n g 时有两个交点 当0 a0 且 的分子为正奇数 有一个交点 若 0 且 的分子为正偶数 当 a 1 时有 三个交点 当a e 时有两个交点 当0 a e