广西桂林市高一数学上学期期末试卷（含解析）.doc

2015-2016学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷一、选择题（12*5=60）1已知全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=1，2，5，ub=4，5，6，则集合ab=（）a1，2b5c1，2，3d3，4，62已知平面上两点a（1，1），b（5，9），则|ab|=（）a10b20c30d403下列函数中，在（0，+）上为减函数的是（）af（x）=3xbcd4设f（x）=，则f（f（2）=（）a1bcd5若幂函数f（x）=（m2m1）xm在（0，+）上为增函数，则实数m=（）a2b1c3d1或 26已知直线l1：x+2ay1=0，与l2：（2a1）xay1=0平行，则a的值是（）a0或1b1或c0或d7若定义在r上的偶函数f（x）在0，+）上是减函数，则有（）af（3）f（2）f（1）bf（1）f（2）f（3）cf（2）f（1）f（3）df（3）f（1）f（2）8过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）abcd9空间四边形abcd的对角线ac=8，bd=6，m，n分别为ab，cd的中点，并且ac与bd所成的角为90，则mn=（）a10b6c8d510已知a0，b0且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=logbx的图象可能是（）abcd11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）a64b72c80d11212已知函数f（x）=log2（a2x4ax+1），且0a1，则使f（x）0成立的x的取值范围是（）a（，0）b（0，+）c（，2loga2）d（2loga2，+）二、填空题（4*5=20）.13计算： =14直线3x+4y5=0到直线3x+4y+15=0的距离是15在边长为a的等边三角形abc中，adbc于d，沿ad折成二面角badc后，这时二面角badc的大小为16如图，平面abcd平面abef，四边形abcd是正方形，四边形abef是矩形，且af=a，g是ef的中点，则gb与平面agc所成角的正弦值为三、解答题（共6题，70分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.）17求下列函数的定义域：（1）f（x）=log2（2）f（x）=18在平面直角坐标系xoy中，已知abc的顶点坐标为a（2，4），b（1，2），c（2，3）（1）求直线bc的方程；（2）求边bc上高ad所在的直线方程19已知函数f（x）=（1）在下表中画出该函数的草图；（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点20某投资公司计划投资a、b两种金融产品，根据市场调查与预测，a产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，b产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将a、b两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入a、b两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？21如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acbc，点d是ab的中点求证：（1）acbc1；（2）ac1平面b1cd22已知定义域为r的函数f（x）=（a，b是常数）是奇函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x1）0成立，求实数k的取值范围2015-2016学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（12*5=60）1已知全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=1，2，5，ub=4，5，6，则集合ab=（）a1，2b5c1，2，3d3，4，6【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】由题意全集u=1，2，3，4，5，6，cub=4，5，6，可以求出集合b，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解：全集u=1，2，3，4，5，6，又ub=4，5，6，b=1，2，3，a=1，2，5，ab=1，2，故选：a【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题2已知平面上两点a（1，1），b（5，9），则|ab|=（）a10b20c30d40【考点】两点间距离公式的应用【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】利用两点间距离公式求解【解答】解：平面上两点a（1，1），b（5，9），|ab|=10故选：a【点评】本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用3下列函数中，在（0，+）上为减函数的是（）af（x）=3xbcd【考点】函数单调性的判断与证明【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数 f（x）=3x，f（x）=，f（x）=在（0，+）上为增函数，故排除利用对数函数的性质可得在（0，+）上为减函数，满足条件，从而得出结论【解答】解：由于函数 f（x）=3x，f（x）=，f（x）=在（0，+）上为增函数，故排除由对数函数的性质可得在（0，+）上为减函数，满足条件，故选b【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题4设f（x）=，则f（f（2）=（）a1bcd【考点】分段函数的应用；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可【解答】解：f（x）=，则f（f（2）=f（22）=f（）=1=1=故选：c【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力5若幂函数f（x）=（m2m1）xm在（0，+）上为增函数，则实数m=（）a2b1c3d1或 2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用幂函数的定义与性质求解即可【解答】解：幂函数f（x）=（m2m1）xm在（0，+）上为增函数，所以m2m1=1，并且m0，解得m=2故选：a【点评】本题考查幂函数的断断续续以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查6已知直线l1：x+2ay1=0，与l2：（2a1）xay1=0平行，则a的值是（）a0或1b1或c0或d【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【专题】计算题；分类讨论【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a0时，两直线的斜率都存在，由，解得a的值【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=1，显然两直线是平行的当a0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：a=综上，a=0或，故选：c【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验7若定义在r上的偶函数f（x）在0，+）上是减函数，则有（）af（3）f（2）f（1）bf（1）f（2）f（3）cf（2）f（1）f（3）df（3）f（1）f（2）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利用函数的单调性及奇偶性，即可得出结论【解答】解：定义在r上的函数f（x）在0，+）上是减函数，f（3）f（2）f（1），函数是偶函数，f（3）f（2）f（1），故选：a【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础8过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）abcd【考点】球的体积和表面积【专题】计算题【分析】由题意设出球的半径，圆m的半径，二者与om构成直角三角形，求出圆m的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比【解答】解：设球的半径为r，圆m的半径r，由图可知，r2=r2+r2，r2=r2，s球=4r2，截面圆m的面积为：r2=r2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：故选a【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口9空间四边形abcd的对角线ac=8，bd=6，m，n分别为ab，cd的中点，并且ac与bd所成的角为90，则mn=（）a10b6c8d5【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】取ad中点p，连结mp、np，则mpbd，npac，从而mpn=90，mp=3，pn=4，由此能求出mn【解答】解：空间四边形abcd的对角线ac=8，bd=6，m，n分别为ab，cd的中点，并且ac与bd所成的角为90，取ad中点p，连结mp、np，则mpbd，npac，mpn=90，mp=3，pn=4，mn=5故选：d【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养10已知a0，b0且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=logbx的图象可能是（）abcd【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质【专题】常规题型；数形结合【分析】由条件ab=1化简g（x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案【解答】解：ab=1，且a0，b0又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选b【点评】本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档题11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）a64b72c80d112【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3分别求体积，再相加即可【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3体积，故该几何体的体积是64+8=72故选b【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题12已知函数f（x）=log2（a2x4ax+1），且0a1，则使f（x）0成立的x的取值范围是（）a（，0）b（0，+）c（，2loga2）d（2loga2，+）【考点】对数函数的图像与性质【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用【分析】首先利用对数函数的单调性得到a2x4ax+11，然后整理，利用指数函数的单调性求x范围【解答】解：由题意，使f（x）0成立即log2（a2x4ax+1）0，所以a2x4ax+11，整理得ax4，且0a1，所以xloga4=2loga2；故选d【点评】本题考查了对数函数和指数函数的性质运用；注意底数与1的关系二、填空题（4*5=20）.13计算： =【考点】对数的运算性质【专题】计算题【分析】利用对数的运算性质=mlogab即可得到答案【解答】解： +20=+20=+1=故答案为：【点评】本题考查对数与指数的运算性质，属于基础题14直线3x+4y5=0到直线3x+4y+15=0的距离是4【考点】两条平行直线间的距离【专题】计算题；直线与圆【分析】利用两条平行线间的距离公式，可得结论【解答】解：直线3x+4y5=0与直线3x+4y+15=0平行，利用两条平行线间的距离公式，可得=4故答案为：4【点评】本题考查两条平行线间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题15在边长为a的等边三角形abc中，adbc于d，沿ad折成二面角badc后，这时二面角badc的大小为60【考点】二面角的平面角及求法【专题】计算题【分析】根据已知中adbc于d，易得沿ad折成二面角badc后，bdc即为二面角badc的平面角，解三角形bdc即可求出二面角badc的大小【解答】解：adbc沿ad折成二面角badc后，adbd，adcd故bdc即为二面角badc的平面角又bd=cd=，bdc=60故答案为：60【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，解答的关键是求出二面角的平面角，将问题转化为一个解三角形问题16如图，平面abcd平面abef，四边形abcd是正方形，四边形abef是矩形，且af=a，g是ef的中点，则gb与平面agc所成角的正弦值为【考点】平面与平面垂直的性质【专题】空间位置关系与距离【分析】由面面垂直的性质证明cbag，用勾股定理证明agbg，得到ag平面cbg，从而面agc面bgc，在平面bgc内作bhgc，垂足为h，则bh平面agc，故bgh是gb与平面agc所成的角，解rtcbg，可得gb与平面agc所成角的正弦值【解答】解：abcd是正方形，cbab，面abcd面abef且交于ab，cb面abefag，gb面abef，cbag，cbbg，又ad=2a，af=a，abef是矩形，g是ef的中点，ag=bg=a，ab=2a，ab2=ag2+bg2，agbg，bgbc=b，ag平面cbg，而ag面agc，故平面agc平面bgc在平面bgc内作bhgc，垂足为h，则bh平面agc，bgh是gb与平面agc所成的角在rtcbg中，bh=，bg=a，sinbgh=故答案为：【点评】本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题（共6题，70分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.）17求下列函数的定义域：（1）f（x）=log2（2）f（x）=【考点】函数的概念及其构成要素【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域【解答】解：（1）要使函数有意义，则3x20，即x，即函数的定义域为（，+）（2）要使函数有意义，则42x0，即2x4，得x2，即函数的定义域为（，2【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础18在平面直角坐标系xoy中，已知abc的顶点坐标为a（2，4），b（1，2），c（2，3）（1）求直线bc的方程；（2）求边bc上高ad所在的直线方程【考点】待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】直线与圆【分析】（1）利用两点式求直线bc方程；（2）由（1）可求ad的斜率，利用点斜式求ad方程【解答】解：（1）因为b（1，2），c（2，3）所以直线bc的方程：整理得5x+3y+1=0；（2）因为边bc上高ad，所以ad 的斜率为，又a（2，4），所以ad的方程为y4=（x2），整理得所求方程：3x5y+14=0【点评】本题考查了直线方程的确定；用到了两点式、点斜式求直线方程19已知函数f（x）=（1）在下表中画出该函数的草图；（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点【考点】对数函数图象与性质的综合应用【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据函数的解析式画出函数的图象（2）结合函数的图象求出的值域、单调增区间及零点【解答】解：（1）函数草图，如图所示：f（x）=x21（x1）过点（0，1），（1，0），显然f（x）=x21（x1）与都过点（1，0），且过点（2，1）（2）y=f（x）的值域为r，y=f（x）的单调增区间：0，1，y=f（x）的零点为x1=1，x2=1【点评】本题主要考查函数的图象和性质的综合应用，分段函数的应用，属于基础题20某投资公司计划投资a、b两种金融产品，根据市场调查与预测，a产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，b产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将a、b两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入a、b两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值【专题】应用题【分析】（1）由于a产品的利润y与投资量x成正比例，b产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；（2）设a产品投入x万元，则b产品投入10x万元，设企业利润为y万元利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数利用配方法求函数的最值【解答】解：（1）设投资为x万元，a产品的利润为f（x）万元，b产品的利润为g（x）万元由题意设f（x）=k1x，由图知，又g（4）=1.6，从而，（2）设a产品投入x万元，则b产品投入10x万元，设企业利润为y万元（0x10）令，则=当t=2时，此时x=104=6答：当a产品投入6万元，则b产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元 【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题21如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acbc，点d是ab的中点求证：（1）acbc1；（2）ac1平面b1cd【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】证明题【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明ac平面bcc1b1，bc1平面bcc1b1，即可证得acbc1；（2）取bc1与b1c的交点为o，连do，则od是三角形abc1的中位线，odac1，而ac1平面b1cd，利用线面平行的判定定理即可得证【解答】证明：（1）在直三棱柱abca1b1c1中，cc1平面abc，cc1ac，又acbc，bccc1=c，ac平面bcc1b1acbc1（2）设bc1与b1c的交点为o，连接od，bcc1b1为平行四边形，则o为b1c中点，又d是ab的中点，od是三角形abc1的中位线，odac1，又ac1平面b1c