(高年级 老师用)第七讲：盈亏问题.doc

品淘奥数（高年段 老师用）第七讲：盈亏问题专题简析：盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。这种一盈一亏的情况，就是我们通常据说的标准的盈亏问题。盈亏问题的基本数量关系是：（盈+亏）两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1、两盈：两次分配都有多余；2、两不足：两次分配都不够；3、盈适足：一次分配有余，一次分配够分；3、不足适足：一次分配不够，一次分配正好。一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：1、“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差两次分得的差=参与分配对象总数；2、“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差两次分得的差=参与分配对象总数；3、“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和两次分得的差=参与分配对象总数。小试牛刀1、老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨？分析与解答：每只小猴子分6个梨则多12个梨；每只小猴子分7个梨就少11个梨，这说明小猴子的总只数为：121123（只），也就是说：不足的个数多余的个数小猴子的只数。即：小猴子的只数为：121123（只）梨子的个数为：23612150（个）或：23711150（个）2、丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分3个，多16个；如果每人分5个，那么就差4个。有多少个小朋友？有多少个苹果？分析与解答：先比较两种分法中各个量之间的关系：每人分3个，余16个苹果。每人分5个，还差4个苹果。这两次分苹果，每人相差的个数为：532（个）。第1次余16个，第2次少4个，那么第2次与第1次总共相差苹果的个数为：41620（个）。每人相差2个，结果总数就相差20个。即：有小朋友的人数为：20210（人）有苹果的个数为：3101646（个）或510446（个）综合算式：（416）（53）10（人），3101646（个）。3、小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析与解答：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9615（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为541（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15115（人），糖果的粒数为：415969（粒）。即：（96）（5-4）15（人），415969（粒）。4、泉州实验小学学生乘汽车到西湖公园去春游。如果每车坐65人，则有15人不能乘车。如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。一共有几辆汽车？有多少学生？分析与解答：每车多坐5人，也就是每车坐70人，恰好多余了一辆车，也就是还差一辆车的人，即70人。因此，问题转化为：如果每车坐65人，则有15人不能乘车。如果每车坐70人，则还差70人。求有多少人和多少辆汽车。即：（1570）（7065）17（辆），6517151120（人）。5、老师拿来一批树苗，分给一些同学去栽，每人每次分给一棵，一轮一轮往下分，当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵。问参加栽树的有多少名同学？原有树苗多少棵？分析与解答：当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵。通过这一句话，我们可以知道参加种树的同学一共有12+8=20人，加上再拿来的8棵，一共有2010=200棵。所以，原有树苗=200-8=192棵。即：有同学12+8=20名，原有树苗2010-8=192棵。挑战自我1、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？分析与解答：这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统一成每人挖6个树坑，形成统一的标准。那么它就相当于每人挖6个树坑，就要差（6-4）2=4个树坑。这样，盈亏总数就是3+4=7，所以，有少先队员7（6-5）=7名，共挖了57+3=38个坑。即：盈亏总数等于3+（6-4）2=7，少先队员有7（6-5）=7名，共挖了57+3=38个树坑。2、某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？分析与解答：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件“如果增加一条船，那么每条船正好坐6人”表示“如果每船坐6人，那么有6人无船可坐”；“如果减少一条船，那么每条船就要坐9人”表示“如果每船坐9人，那么就空出一条船”。这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为69=15（人），两次分配的差为9-63（人）。即：（69）（9-6）5（条），656=36（人）。3、王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于改进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完成。问：这批零件有多少个？分析与解答：每天加工20个，如果一直加工到计划时间，那么将多加工20个零件；改进技术后，如果一直加工到计划时间，那么将多加工（205）375（个）。盈亏总额为75-055（个）。两种加工的速度比较，每天相差5个。根据盈亏问题的公式，从改进技术时到计划完工的时间是55511（天），计划时间为11415（天），这批零件共有20（15-1）280（个）。4、幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个。已知大班比小班多3个小朋友，问这筐苹果共有多少个？分析与解答：分给大班的小朋友每人5个则余10个，大班比小班多3个小朋友，相当于分给小班的小朋友每人5个则余10+35=25个，盈亏总数=25+2=27，小班人数=27（8-5）=9人，苹果有95+25=70个。5、同学们暑假前到图书馆借书，如果每人借4本，则最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，这些图书恰好借完，书的总数是多少？分析与解答：第二种借法中如果每人借3本，则余下：（83）210（本）； 两种借法每人相差：431（本）；两种借法相差本数：10212（本） 借书的总人数：12112（人）；书的总数：412246（本）智慧一加一1、张宇上午7时25分从家里出发到校上课。如果每分钟走50步，离上课还有7分钟；如果每分钟走35步，就要迟到5分钟。求学校的上课时间。分析与解答：这种盈亏问题的另一种比较常见的类型。主要是在计算盈亏总数时必须注意量的单位的统一。这里，盈亏总数不是7+5=12分，而是750+535=525步。所以，准点到校用时为525（50-35）=35分钟。所以，上课时间是8点。 即：准点到校的用时=（750+535）（50-35）=35分钟，学校上课时间为8点。2、有两根同样长的绳子，第一根平均剪成5段，第二根平均剪成7段，第一根剪成的每段比第二根剪成的每段长2米。原来每根绳子长多少米？分析与解答：第一根剪成的每段比第二根剪成的每段长2米。那么，如果同样是5段的话，第二种就要比第一种少52=10米，现在第二种7段和第一种5段一样长，说明第二种的两段长是10米，也就是说每一段为102=5米。所以，绳子长为57=35米。即：原来每根绳子长为7（252）=35米。3、小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小明和小红每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨。如果小明1人分6个梨，其余每人分4个梨，又差12个梨。小明家有多少人？这筐梨子有多少个？分析与解答：第一种分法是小明、小红各4个梨，其余每人2个梨，多余4个梨。假设小明、小妹也分2个梨，那么会多多少个梨呢？很容易想，多出：2248（各）。第二种分法是小明一人得6个梨，其余每人4个梨，差12个梨。假设小明也只分4个，那么就只差：12210（个）。即：小明家的人数为：224（122）2182=9（人）。梨子的个数为：422（92）426（个）或：64（91）1226（个）。4、苹果和梨各有若干只。如果5只苹果和3只梨装一袋，苹果还多4只，梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只。那么苹果和梨共有多少只？分析与解答：7只苹果和3只梨装一袋比5只苹果和3只梨装一袋多了2只苹果，梨从刚好到多12只，相当于把原来装好的袋拿出了123=4袋，抽出