1.2.1集合之间的关系

1 2 1集合之间的关系 一 二 三 四 一 维恩 Venn 图 问题思考 1 集合能用直观图形来表示吗 提示 能 可以用封闭的曲线表示集合 解决问题更加直观 2 填空 我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合 用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系 这种图形通常叫做维恩 Venn 图 一 二 三 四 二 子集 真子集 集合相等的概念 问题思考 1 下列写法哪个是正确的 0 0 0 0 0 0 0 0 提示 只有 写法是正确的 一般地 元素与集合之间是属于关系 而反映两个集合间的关系一般用子集 真子集或相等 一 二 三 四 2 填写下表 一 二 三 四 3 做一做 用适当的符号填空 1 0 1 N 2 2 x x2 x 3 2 1 x x2 3x 2 0 答案 1 2 3 一 二 三 四 三 子集 真子集的性质 问题思考 1 与 的关系如何 提示 与 的写法都是正确的 前者是从两个集合间的关系来考虑的 后者则把 看成集合 中的元素来考虑 2 填空 1 规定 空集是任意一个集合的子集 也就是说 对任意集合A 都有 A 2 任何一个集合A都是它本身的子集 即A A 3 对于集合A B C 如果A B B C 则A C 4 对于集合A B C 如果A B B C 则A C 一 二 三 四 四 集合关系与其特征性质之间的关系 问题思考 1 试从集合特征性质的角度来理解集合A x x是6的约数 与集合B x x是12的约数 的关系 提示 集合A的特征性质p x 是 x是6的约数 集合B的特征性质q x 是 x是12的约数 而6的约数是1 2 3 6 12的约数是1 2 3 4 6 12 由此得知 如果p x 那么q x 是正确的命题 则有 如果x是6的约数 那么x是12的约数 即x A x B 所以A B 2 填写下表 设A x p x B x q x 则有 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里打 错误的打 1 集合 2017 与 0 2017 之间的关系为 2017 0 2017 2 空集是任意集合的子集 3 若一个集合中含有n个元素 则该集合的非空子集个数为2n 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 判断集合之间的关系 例1 1 设M 菱形 N 平行四边形 P 四边形 Q 正方形 则这些集合之间的关系为 A P N M QB Q M N PC P M N QD Q N M P 2 有下列关系 0 0 0 0 1 0 1 a b b a 其中正确的个数为 A 1B 2C 3D 4 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解析 1 由于四边形包括正方形 菱形 平行四边形 故集合M N Q均为P的子集 再结合正方形 菱形 平行四边形的概念易知Q M N P 2 中根据元素与集合的关系可知0 0 正确 中由空集是任意非空集合的真子集可知 0 正确 中集合 0 1 的元素是数 而集合 0 1 的元素是点 因此没有包含关系 故 错误 中集合中的元素是点 而点的坐标有顺序性 因此 a b b a 故 错误 综上 应选B 答案 1 B 2 B 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟判断两个集合A B之间是否存在包含关系有以下几个步骤 第一步 明确集合A B中元素的特征 第二步 分析集合A B中元素之间的关系 1 当集合A中的元素都属于集合B时 有A B 2 当集合A中的元素都属于集合B 但集合B中至少有一个元素不属于集合A时 有A B 3 当集合A中的元素都属于集合B 并且集合B中的元素都属于集合A时 有A B 4 当集合A中至少有一个元素不属于集合B 并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时 有A B 且B A 即集合A B互不包含 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 A M NB M NC N MD N M答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 确定集合的子集 真子集 例2 集合A x 0 x 3 且x N 的真子集的个数是 A 16B 8C 7D 4解析 因为0 x 3 x N 所以x 0 1 2 即A 0 1 2 所以A的真子集的个数为23 1 7 答案 C 例3 求满足条件 x x2 5 0 M x x2 1 0 的集合M 分析 M是集合 x x2 1 0 的子集 又 x x2 5 0 是空集 它是M的真子集 所以M不是空集 因此问题归结为求 x x2 1 0 的非空子集 解 因为 x x2 5 0 x x2 1 0 1 1 其非空子集为 1 1 1 1 所以M为 1 或 1 或 1 1 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟1 1 集合A是集合B的真子集 需要满足以下两个条件 集合A是集合B的子集 存在元素x B 但x A 所以 如果集合A是集合B的真子集 那么集合A一定是集合B的子集 反之 不成立 2 若集合A 1 2 B 1 2 3 则A是B的子集 也是真子集 用符号A B与A B均可 但用A B更准确 2 与子集 真子集个数有关的四个结论假设集合A中含有n个元素 则有 1 A的子集的个数为2n 2 A的真子集的个数为2n 1 3 A的非空子集的个数为2n 1 4 A的非空真子集的个数为2n 2 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练2写出集合M x x x 1 2 x 2 0 的所有子集 并指明哪些是集合M的真子集 解 解方程x x 1 2 x 2 0 可得x 0或x 1或x 2 故集合M 0 1 2 由0个元素构成的子集为 由1个元素构成的子集为 0 1 2 由2个元素构成的子集为 0 1 0 2 1 2 由3个元素构成的子集为 0 1 2 因此集合M的所有子集为 0 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 2 其中除集合 0 1 2 以外 其余的子集全是集合M的真子集 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 两个集合相等及其应用 例4 已知集合A 2 x y B 2x 2 y2 若A B 求x y的值 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟1 判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同 有两种方法 1 将两个集合的元素一一列举出来 进行比较 2 看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致 若均一致 则两个集合相等 2 两个集合相等的问题一般转化为解方程 组 但要注意最后需检验 看是否满足集合元素的互异性 3 找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 根据子集的关系 确定参数的值 例5 已知集合P x x2 x 6 0 Q x ax 1 0 满足Q P 求a的取值 分析 先明确集合P 再结合Q P对Q中的a分两种情况讨论 解 P x x2 x 6 0 2 3 当a 0时 Q x ax 1 0 Q P成立 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟对于两个集合A B 若A或B中含有待确定的参数 字母 且A B或A B 则集合B中的元素与集合A中的元素具有 包含关系 解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法 1 分类讨论是指 A B在未指明集合A非空时 应分A 和A 两种情况来讨论 因为集合中的元素是无序的 由A B或A B得出的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种 因此需要分类讨论 2 数形结合是指对A 这种情况 在确定参数时 需要借助数轴来完成 将两个集合在数轴上表示出来 分清实心点与空心点 确定两个集合之间的包含关系 列不等式 组 求出参数 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 3 解决集合中含参数问题时 最后结果要注意验证 验证是指 分类讨论求得的参数的值 还需要代入原集合中看是否满足互异性 所求参数的取值范围能否取到端点值 4 对于本题而言易漏掉当a 0时的情况 要清楚当a 0时 ax 1 0是无解的 即此时Q为空集 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 已知集合A x x2 5x 6 0 B x m 1 x 1 0 且B A 则以实数m为元素的集合M为 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 因忽略B为空集这一特殊情况而致误 典例 集合A x 2 x 5 B x m 1 x 2m 1 1 若B A 求实数m满足的条件 2 当x Z时 求A的非空真子集的个数 错解 1 由题意并结合数轴 如下图 所以实数m满足的条件是2 m 3 2 当x Z时 A 2 1 0 1 2 3 4 5 所以A的非空真子集的个数为28 1 255 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 1 中忽略了B 时的情形 2 中误认为是求A的真子集或A的非空子集的个数 正解 1 当B 时 A 符合题意 此时m 1 2m 1 解得m 2 当B 时 由题意结合数轴 如下图 综合 可知m满足的条件是m 3 2 当x Z时 A 2 1 0 1 2 3 4 5 所以A的非空真子集的个数为28 2 254 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 防范措施空集是一种特殊的集合 它是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 当B A时 B为空集的情况容易被忽略 因此 当条件不明确时 要注意分情况来讨论 本题中若不考虑B为空集的情况 将会丢掉m 2这一部分解 1 2 3 4 5 1 设集合A x y B 0 x2 若A B 则2x y等于 A 0B 1C 2D 1 6 1 2 3 4 5 6 2 设集合A x 1 x 2 B x x a 若A B 则a满足的条件是 A a 2B a 1C a 1D a 2解析 结合数轴 如下图 A B a 2 答案 A 1 2 3 4 5 6 3 已知集合U R 则正确表示集合M 1 0 1 和N x x2 x 0 关系的Venn图是 解析 N x x2 x 0 1 0 对照Venn图可知A符合题意 即N M U 答案 A 1 2 3 4 5 6 4 集合 a b c d 的非空子集的个数为 答案 7 1 2 3 4 5 6 5 有下面5个命题 空集没有子集 任意集合至少有两个子集 空集是任何集合的真子集 若 A 则A 集合A B 就是集合A中的元素都是集合B中的元素 集合B中的元素也都是集合A中的元素 其中不正确命题的序号有 解析 错误 因为空集是任意一个集合的子集 错误 因为空集只有一个子集 错误 因为空集是任意一个非空集合的真子集 空集并不是它