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1.求下列复合函数的偏导数或导数. (1) 求解: (2) 求解: 令(3) 求解: 令2. 设其中f为可微函数,验证:解: 令 3设其中为可微函数，证明：解： 4设可微，证明：在坐标旋转变换之下，是一个形式不变量.即若则必有证: 5. 设是可微函数,试求解: 故6.(1) (2) 解: (1)设则由数学归纳法得进而有 (2) 令 7. 设证明:证:.8.设证明:证:由得,所以9.设证明:证: 由得两边对求偏导，得因则由对称性，有 （1） （2） （3）(1)+(2)+(3),得显然有所以10通过对施用中值定理，证明对某有证：在可微.由二元函数中值定理:而故有11. 求下列函数在指定点处的泰勒公式: (1) 在点(1,1)(到三阶为止); (2) 在点(0,0).解: (1) 所以（2） 设则所以故,12. 证明:函数为常数)满足热传导方程:证 故有 13. 证明函数满足拉普拉斯方程: 证 令则 14. 证明满足拉普拉斯方程则也满足此方程. 证 令则15. 设函数,证明证 所以 16. 设和都在点的邻域内存在,在点连续,证明也存在,且 证 由定理17.7证明知(P131第(6)式),有 因在连续,所以 又再由在连续,得即 17. 设在点的邻域存在且在点可微,则有 证 由定理17.7的证明P130倒数第9行,及在点的邻域存在且在点可微,当充分小时，有其中（当时），所以 （1） 同理有 （2）其中（当时）。 于是令由（1），（2
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