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柱锥台的体积 1 B2 B3 A4 D5 A6 7 1 2 8 C9 18 球的体积和表面积 高等于底面半径的旋转体体积对比 球的体积 球的体积和表面积公式 设球的半径为R 则有 例1 钢球直径是5cm 求它的体积 例题讲解 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 解 设空心钢球的内径为2xcm 则钢球的质量是 答 空心钢球的内径约为4 5cm 由计算器算得 变式2 把钢球 直径为5cm 放入一个正方体的有盖纸盒中 至少要用多少纸 用料最省时 球与正方体有什么位置关系 球内切于正方体 侧棱长为5cm 正方体的内切球 1 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 2 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 倍 3 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比是 4 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 练习一 1 球的直径伸长为原来的2倍 体积变为原来的 倍 2 一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长是4cm 这个球的体积为 cm3 8 3 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 表面积之比 练习二 1 2 3 3 将半径为1和2的两个铅球 熔成一个大铅球 那么这个大铅球的表面积是 1 长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为 2 若两球表面积之差为48 它们大圆周长之和为12 则两球的直径之差为 练习三 课堂练习 例2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 它的各个顶点都在球O的球面上 问球O的表面积 分析 正方体内接于球 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体对角线与球的直径相等 正方体的外接球 变式 如图 求与正方体ABCD A1B1C1D1的棱都相切的球O的表面积 分析 球O与正方体的棱都相切 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体的棱的中点都在球面上 O A B C 例 已知圆台上下底面圆周都在球面上 且下底面经过球心O 圆台的高等于球半径的一半 求圆台的体积与球的体积的比 例4已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 解 如图 设球O半径为R 截面 O 的半径为r 例4已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 例5 求棱长为a的正四面体的内切球和外接球的表面积 解 如图所示 设点O是内切球的球心 由图形的对称性知点O也是外接球的球心 设内接球半径为r 外接球半径为R 的正四面体表面积S表 4 正四面体的体积 内切球的表面积S内 在中 即 得 外接球的表面积 了解球的体积 表面积推导的基本思路 分割 求近似和 化为标准和的方法 是一种重要
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