南通市2011届高三第二次调研测试全解析.doc

南通市2011届高三第二次调研测试全解析版数学(满分160分，考试时间120分钟)201103一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 曲线yx32x在点(1，1)处的切线方程是_答案：xy20解析：由题意可得：y3x22，则曲线yx32x在点(1，1)处的切线斜率为1，所以曲线yx32x在点(1，1)处的切线方程为y1x1，即xy20.2. 若abi(a、bR，i为虚数单位)，则ab_.答案：解析：i，则a，b，所以ab.3. 命题“若实数a满足a2，则a24”的否命题是_(填“真”或“假”)命题答案：真解析：其否命题为“若实数a满足a2，则a24”，这是一个真命题4. 把一个体积为27 cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为_答案：解析：锯成27个小正方体后，只有中间的一小块没有红漆，其余26小块都有红漆，所以这一块至少有一面涂有红漆的概率为.5. 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为_分答案：2解析：其平均分是：330%250%110%2分6. 设Ma|a(2,0)m(0,1)，mR和Nb|b(1,1)n(1，1)，nR都是元素为向量的集合，则MN_.答案：(2,0)解析：因为a(2，m)，b(1n,1n)，得解得所以MN(2,0)7. 在如图所示的算法流程图中，若输入m4，n3，则输出的a_.(第7题)答案：12解析：m4，n3，当i1时a4(不能被n整除)；当i2时a8(不能被n整除)；当i3时a12(能被n整除)所以输出的a的值为12.8. 设等差数列an的公差为正数，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.答案：105解析：由a1a2a315，a1a2a380，得a25，a1a310，a1a316，所以d3，a11a12a13a1a2a330d105.9. 设、是空间两个不同的平面，m、n是平面及外的两条不同直线从“ mn； ； n； m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.(填序号)答案：(或)解析：利用线面、面面垂直的判定定理及性质定理可得(或)10. 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x2)，当x3,5时，f(x)2|x4|.下列四个不等关系：ff；f(sin1)f(cos1)；ff；f(cos2)f(sin2)其中正确的个数是_答案：1解析：由题意可得：函数f(x)的周期为2，又当x3,5时，f(x)2|x4|，所以x1,1时，f(x)2|x|.由0sincos1可得ff；由1sin1cos10，可得f(sin1)f(cos1)；由01可得ff；由01可得f(cos2)f(sin2)所以正确的个数为1.11. 在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x21的左、右焦点，ABC 的顶点C在双曲线的右支上，则的值是_答案：解析：(特殊位置法)假设在ABC中，ABC90，设ACn，BCm，则由题意可得解之得m3，n5，所以.12. 在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，定义：d(P，Q)|x1x2|y1y2|.已知点B(1,0)，点M为直线x2y20上的动点，则使d(B，M)取最小值时点M的坐标是_答案：解析：依题意可设M(2y2，y)，则d(B，M)|2y3|y|当y时，13. 若实数x、y、z、t满足1xyzt10 000，则的最小值为_答案：解析：由题意可得2222，当且仅当x1，yz100，t10 000时取“”14. 在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2y21上相异三点，若存在正实数、，使得，则2(3)2的取值范围是_(2，)解析：设、的夹角为，将两边平方得1222cos，于是根据、是正实数，得到1222且1222，在直角坐标平面O内画出可行域(如图)，而2(3)2的几何意义是可行域内的点到点(0,3)的距离的平方，结合图象可得到结果二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)如图，平面PAC平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，ABBCAC4，PAPC2.求证：(1) PA平面EBO；(2) FG平面EBO.证明：由题意可知，PAC为等腰直角三角形，ABC为等边三角形(2分)(1) 因为O为边AC的中点，所以BOAC.因为平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，BO平面ABC，所以BO面PAC.(5分)因为PA平面PAC，所以BOPA.在等腰三角形PAC内，O、E为所在边的中点，所以OEPA.又BOOEO，所以PA平面EBO.(8分)(2) 连AF交BE于Q，连QO.因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，所以2，且Q是PAB的重心，(10分)于是2，所以FGQO.(12分)因为FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG平面EBO.(14分)【注】 第(2)小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH平面EBO证得16. (本小题满分14分)已知函数f(x)2cos.(1) 设，且f()1，求的值；(2) 在ABC中，AB1，f(C)1，且ABC的面积为，求sinAsinB的值解：(1) f(x)2cos22sincos(1cosx)sinx2cos.(3分)由2cos1，得cos.(5分)于是x2k(kZ)，因为x，所以x或.(7分)(2) 因为C(0，)，由(1)知C.(9分)因为ABC的面积为，所以absin，于是ab2.在ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b.由余弦定理得1a2b22abcosa2b26，所以a2b27.由可得或于是ab2.(12分)由正弦定理得，所以sinAsinB(ab)1.(14分)17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：1(ab0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称(1) 求椭圆E的离心率；(2) 判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；(3) 若圆C的面积为，求圆C的方程解：(1) 设椭圆E的焦距为2c(c0)，因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，于是a28b2，即a28(a2c2)，所以椭圆E的离心率e.(4分)(2) 由e，可设a4k(k0)，ck，则bk，于是A1B1的方程为x2y4k0，故OA2的中点(2k,0)到A1B1的距离d2k.(6分)又以OA2为直径的圆的半径r2k，即有dr，所以直线A1B1与圆C相切(8分)(3) 由圆C的面积为知圆半径为1，从而k.(10分)设OA2的中点(1,0)关于直线A1B1：x2y20的对称点为(m，n)，则(12分)解得m，n.所以圆C的方程为221.(14分)18. (本小题满分16分)如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2 km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地(1) 如图甲，要建的活动场地为RST，求场地的最大面积；(2) 如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积解：(1) 如下图，过S作SHRT于H，则SRSTSHRT.(2分)由题意，RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离(4分)RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT4，SH2，当且仅当RT切圆Q于P时(如甲图)，上面两个不等式中等号同时成立此时，场地面积的最大值为SRST424(km2)(6分)xem(em，em1em)em1em(em1em，em1)em1h(x)0h(x)0增h(em1em)减0(2) 同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P(如乙图)，再设BPA，则有S四边形ABCD22sin222sin(2)4(sinsincos).(8分)令ysinsincos，则ycoscoscossin(sin)2cos2cos1.(11分)若y0，cos，又时，y0；时，y0，(14分)所以函数ysinsincos在处取到极大值也是最大值，故时，场地面积取得最大值为3(km2)(16分)19. (本小题满分16分)设定义在区间x1，x2上的函数yf(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，(x，y)，当实数满足xx1(1)x2时，记向量(1).定义“函数yf(x)在区间x1，x2上可在标准k下线性近似”是指“|k恒成立”，其中k是一个确定的正数(1) 设函数f(x)x2在区间0,1上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；(2) 求证：函数g(x)lnx在区间em，em1(mR)上可在标准k下线性近似(参考数据：e2.718，ln(e1)0.541)(1) 解：由(1)，得，所以B、N、A三点共线(2分)又由xx1(1)x2与向量(1)，得N与M的横坐标相同(4分)对于0,1上的函数yx2，A(0,0)，B(1,1)，则有|xx22，故|.所以k的取值范围是.(6分)(2) 证明：对于em，em1上的函数ylnx，A(em，m)，B(em1，m1)，(8分)则直线AB的方程为ym(xem)(10分)令h(x)lnxm(xem)，其中xem，em1(mR)，于是h(x)，(13分)列表如下：则|h(x)，且在xem1em处取得最大值又h(em1em)ln(e1)0.123，从而命题成立(16分)20. (本小题满分16分) 已知数列an满足a1a2ann2(nN*)(1) 求数列an的通项公式；(2) 对任意给定的kN*，是否存在p、rN*(kpr)使、成等差数列？若存在，用k分别表示p和r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由；(3) 证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为an1、an2、an3.(1) 解：当n1时，a11；当n2，nN*时，a1a2an1(n1)2，所以ann2(n1)22n1.综上所述，an2n1(nN*)(3分)(2) 解：当k1时，若存在p、r使、成等差数列，则.因为p2，所以ar0，与数列an为正数相矛盾，因此，当k1时不存在；(5分)当k2时，设akx，apy，arz，则，所以z，(7分)令y2x1，得zxyx(2x1)，此时akx2k1，apy2x12(2k1)1，所以p2k1，arz(2k1)(4k3)2(4k25k2)1，所以r4k25k2.综上所述，当k1时，不存在p、r；当k2时，存在p2k1，r4k25k2满足题设(10分)(3) 证明：作如下构造：an1(2k3)2，an2(2k3)(2k5)，an3(2k5)2，其中kN*，它们依次为数列an中的第2k26k5项，第2k28k8项，第2k210k13项，(12分)显然它们成等比数列，且an1an2an3，an1an2an3，所以它们能组成三角形由kN*的任意性，这样的三角形有无穷多个(14分)下面用反证法证明其中任意两个三角形A1B1C1和A2B2C2不相似：若A1B1C1和A2B2C2相似，且k1k2，则，整理得，所以k1k2，这与条件k1k2相矛盾，因此，任意两个三角形不相似故命题成立(16分)【注】 1. 第(2)小题当ak不是质数时，p、r的解不唯一；2. 第(3)小题构造的依据如下：不妨设n1n2n3，且an1、an2、an3符合题意，则公比q1.因an1an2an3，又an1an2an3，则1qq2，所以1q.因为三项均为整数，所以q为内的既约分数且an1含平方数因子，经验证，仅含12或32时不合，所以an1(2k3)2p(k、pN*)；3. 第(3)小题的构造形式不唯一南通市高三数学附加题试卷第页(共2页)南通市2011届高三第二次调研测试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修41：几何证明选讲自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且BMP100，BPC40，求MPB的大小解：因为MA为圆O的切线，所以MA2MBMC.又M为PA的中点，所以MP2MBMC.因为BMPPMC，所以BMPPMC.(5分)于是MPBMCP.在MCP中，由MPBMCPBPCBMP180，得MPB20.(10分)B. 选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值11的一个特征向量为1，属于特征值24的一个特征向量为2.求矩阵A.解：由特征值、特征向量定义可知，A111，即1，得(5分)同理可得解得a2，b3，c2，d1.因此矩阵A.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(为参数)以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos2.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值解：cos2化简为cossin4，则直线l的直角坐标方程为xy4.(4分)设点P的坐标为(2cos，sin)，得P到直线l的距离d，即d，其中cos，sin.(8分)当sin()1时，dmax2.(10分)D. 选修45：不等式选讲若正数a、b、c满足abc1，求的最小值解：因为正数a、b、c满足abc1，所以(3a2)(3b2)(3c2)(111)2，(5分)即1，当且仅当3a23b23c2，即abc时，原式取最小值1.(10分)【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC的中点，E