回归分析与协方差分析.ppt

回归分析与协方差分析 内容 9 1一元线性回归 学习目标 散点图 回归系数 正规方程 经验回归方程 回归平方和 剩余平方和 相关系数 显著性检验 不确定关系 人的身高 体重 农作物的单位面积产量 施肥量 9 1一元线性回归 1 一元线性回归的基本概念 线性模型 例为了研究弹簧悬挂不同重量 单位 克力 x时长度 单位 厘米 y的关系 通过试验得到一组数据 重量xi51015202530长度yj7 258 128 959 9010 9011 80 把这些数据点 xi yj 画在xoy坐标系中 图形称为散点图 L 散点图 记L为 进行n次独立试验 测得数据如下 我们的问题是 如何根据这些观测值用 最佳的 形式来表达变量Y与X之间的相关关系 一般而言 在变量x取值以后 若Y所取的值服从N x 2 分布 当 及 2未知时 根据样本 x1 Y1 x2 Y2 xn Yn 的观测值 x1 y1 x2 y2 xn yn 对未知参数 及 2所作的估计与检验称为一元线性回归分析 而 称为截距 称为回归系数 E Y x称为回归方程 由回归方程可以推出 根据样本及其观测值可以得到 及 2的估计量及估计值 得到回归方程的估计式或经验回归方程 最常用的是最小二乘法 即求出 的值最小 所求出的a称为经验截距 简称为截距 b称为经验回归系数 简称为回归系数 而 2 总体中未知参数的估计 根据最小二乘法的要求由 得到一元线性回归的正规方程组 并求出 建立一元线性回归方程的具体步骤 3 计算b和a 写出一元线性回归方程 与上述a和b相对应的Q的数值又记作SSE 称为剩余平方和 将a b和SSE以及和看作是统计量 它们的表达式分别为 这些统计量之间以及它们与总体参数之间有以下的内在联系 为提高a的估计精度 最理想的选择是使 0 其绝对值越小越好 为提高b的估计精度 应该使lxx取较大的数值 x1 x2 xn越分散越好 观测值的个数n不能太小 3 线性回归方程的显著性检验 因此 必须对回归方程的拟合情况或效果作显著性检验 其理论基础就是总平方和的分解 即 表示n个y1 y2 yn与之间的差异 当各个yi已知时 它是一个定值 称为总平方和 记作SST 通过回归已经达到了最小值 称为剩余平方和 记作SSE 称为回归平方和 记作SSR 因此 SST SSE SSR 如果SSR的数值较大 SSE的数值便比较小 说明回归的效果好 如果SSR的数值较小 SSE的数值便比较大 说明回归的效果差 如果 r 较大 SSE的数值便比较小 说明回归的效果好或者说x与Y的线性关系密切 如果 r 较小 SSE的数值便比较大 说明回归的效果差或者说x与Y的线性关系不密切 因此称r为x与Y的观测值的相关系数 又由r及回归系数的计算公式 可以推出 r 0时b 0 x增加时Y的观测值呈增加的趋势 r0时称x与Y正相关 r 0时称x与Y负相关 综上所述 如果设H0为 0 也就是假设x与Y不是线性关系 则可以用以下三种实质相同的方法检验线性回归方程的显著性 且当检验的结果显著时x与Y的线性关系显著 回归方程可供应用 当检验的结果不显著时x与Y的线性关系不显著 回归方程不可应用 F检验法 当H0为真时 且SSR与SSE相互独立 因此 当H0为真时 当F F1 1 n 2 时应该放弃原假设H0 2 t检验法 当H0为真时 当 t t1 0 5 n 2 时应该放弃原假设H0 3 r检验法 根据x与Y的观测值的相关系数 可以推出 当H0为真时 当F F1 1 n 2 或 r r n 2 时应该放弃原假设H0 式中的 可由r检验用表中查出 因此 r常常用来表示x与Y的线性关系在x与Y的全部关系中所占的百分比 又称为x与Y的观测值的决定系数 4 利用回归方程进行点预测和区间预测 若线性回归作显著性检验的结果是放弃H0 也就是放弃回归系数 0的假设 便可以利用回归方程进行点预测和区间预测 这是人们关注线性回归的主要原因之一 当x x0时 Y0的观测值y0的点预测是无偏的 当x x0时 用适合不等式P Y0 G H 1 的统计量G和H所确定的随机区间 G H 预测Y0的取值范围称为区间预测 而 G H 称为Y0的1 预测区间 若Y0与样本中的各Yi相互独立 则根据Z Y0 a bx0 服从正态分布 E Z 0 Z与SSE相互独立 可以导出 因此 Y0的1 预测区间为a bx0 x0 例1 1 吸附方程 某种物质在不同温度下可以吸附另一种物质 如果温度x 单位 与吸附重量Y 单位 mg 的观测值如下表所示 温度x1 51 82 43 03 53 94 44 85 0 重量y4 85 77 08 310 912 413 113 615 3 试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验 若x0 2 求Y0的0 95预测区间 解 根据上述观测值得到n 9 所求的线性回归方程为 显著性检验方法 F检验法 SST lyy 114 516 SSR blxy 112 485 SSE SST blxy 2 031 n 2 7 F0 99 1 7 12 2 所以回归方程极显著 t检验法 所以回归方程极显著 3 r检验法 所以回归方程极显著 Y0的0 95预测区间为 4 09 8 15 这说明当温度为2时 应该预测吸附另一种物质的重量在4 09至8 15之间 并且预测100次将有95次是正确的 例1 2 植物保护 一些夏季害虫的盛发期与春季温度有关 现有1956 1964年间3月下旬至4月中旬旬平均温度的累计数x和一代三化螟蛾盛发期Y 以5月10日为0 的观测值如下 温度x35 534 131 740 336 840 231 739 244 2 盛发期y12169273139 1 试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验 若x0 40 求Y0的0 95预测区间 解 根据上述观测值得到n 9 所求的线性回归方程为 显著性检验方法 F检验法 SST lyy 249 5556 SSR blxy 174 8886 SSE SST blxy 74 6670 n 2 7 F0 99 1 7 12 2 所以回归