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圆锥曲线复习课 第一课时 REVIEWOFTHEPOINTCONIC Doyouknowhim What shisname 定义 标准方程 性质 椭圆的定义 双曲线的定义 抛物线的定义 平面内与两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F F2 的点的轨迹 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F F2 的点的轨迹 关于原点 x轴 y轴对称 关于原点 x轴 y轴对称 关于x轴对称 顶点为坐标原点 圆锥曲线的统一定义 椭圆 双曲线 抛物线 在平面上 若动点M与定点F的距离和它到定直线的距离的比等于常数e的轨迹 由椭圆的第一定义知 解 1 例 已知两定点F1 4 0 F2 4 0 1 求动点P的轨迹方程 x y F1 F2 O P 动点P x y 满足 点P所在轨迹为椭圆 Q 若延长PF2交椭圆于Q 想一想 直径作圆 关系如何 问此圆与右准线的位置 以PQ为 y F1 F2 O P H1 F2 Q H2 M N 解 则有2 MN PH1 QH2 PH1 PF2 QH2 QF2 因为 所以以PQ为直径的圆与右准线相 离 过P M Q分别作垂直于准线的线段 垂足分别为H1 N H2 想一想 将椭圆方程改为一般情形 结论如何 对其它圆锥曲线 结论又如何 例 已知椭圆 P x y 是其上的一动点 的焦点为F1 F2 已知圆锥曲线 抛物线 椭圆 双曲线 的焦点为F PQ为过焦点F的弦 请判断以PQ为直径的圆与焦点相应准线的位置关系 F P Q M H1 H2 N y x o 抛物线时 以PQ为直径的圆与焦点相应准线的位置关系为 椭圆时 相离 相切 已知圆锥曲线 抛物线 椭圆 双曲线 的焦点为F PQ为过焦点F的弦 请判断以PQ为直径的圆与焦点相应准线的位置关系 抛物线时 PQ交双曲线同支时 相交 椭圆时 相离 以PQ为直径的圆与焦点相应准线的位置关系为 相切 P F x y o H1 Q H2 M N 3 PF2 有最值吗 何时取得最值 PF2 e PH 故P在顶点A1 A2处时 PF2 分别取得最大 最小值 A1 x y F1 F2 O A2 分析 H PF2 e PH 此时为x的单调递减函数 e 想一想 P 直接设P点的坐标可以解决此类问题吗 例 已知椭圆 P x y 是其上的一动点 的焦点为F1 F2 3 PF2 有最值吗 何时取得最值 x y F1 F2 O A2 分析 e 想一想 若B 2 1 是椭圆内的点 是否存在最小值 P B 直接设点P x1 y1 则 已知 所以 故P在顶点A1 A2处时 PF2 分别取得最大 最小值 例 已知椭圆 P x y 是其上的一动点 的焦点为F1 F2 A1 分析 直接设点P x y 则 已知 求 的最值 一 4 问是否存在最小值 例 已知椭圆 若B 2 1 是椭圆内的一点 P x y 是其上一动点 B P y x o F2 F1 2 1 你想知道吗 过两年我们就有机会解决它了 这里我们只能求最小值 e 议一议 B H1 H2 P x y o F1 解 5 过P B作PH1 BH2垂直于右准线 分别交其于H1 H2 4 问是否存在最小值 例 已知椭圆 若B 2 1 是椭圆内的一点 P x y 是其上一动点 此结论能推广到一般情形吗 已知圆锥曲线 抛物线 椭圆 双曲线 的焦点为F 是其 的一定点 求的最小值 上的一点 B为曲线内 e P B 若点B是椭圆上不与P重合的另一点 且 F2P F2B 问PB中点的横坐标是否为定值 一般情形 F2 解 5 由椭圆的定义 有 y F1 F2 O B H1 H2 作PH1 MN BH2垂直与右准线 F2P F2B 又 5 若点B是椭圆上不与P重合的另一点 且 F2P F2B 试问PB中点的横坐标是否为定值 M N E e 下一个问题是 P 常数t有范围吗 设PB的中点为M x y 过P M B分别 例 已知椭圆 P x y 是其上的一动点 的焦点为F1 F2 t t t 6 何时取得最大值 为什么 设 PF1 m PF2 n 在 PF1F2中 据余弦定理有 P n m 解 6 当m n 即P在椭圆与短轴交点C D时 cos F1PF2最小 又因为余弦函数在上是减函数 当P在椭圆与短轴交点C D时 F1PF2最大 C D e 例 已知椭圆 P x y 是其上的一动点 的焦点为F1 F2 7 解方程 由椭圆的第一定义上式表示的是椭圆 将 代入椭圆方程得 分析 逆水行舟 e 将代数方程问题通过构造转化为几何问题很直观哟 哇噻 1 求该椭圆的方程 2 若延长PF2交椭圆 与Q 以PQ为直径作圆 问此圆与右准线的位置关系如何 3 PF2 有最值吗 何时取得最值 4 若B 2 1 是椭圆内的一点 问 是否存在最值 5 椭圆上的另一点为Q 且 F2P F2Q 等于 试求PQ中点的横坐标 x y F1 O 例 已知两定点F1 4 0 F2 4 0 动点P x y 满足 e Q F2 B P Q 问题回放