空间两直线的位置关系.pptVIP

3 6 空间两直线的相关位置 空间两直线的相关位置 设直线过点 其方向矢量为 直线过点 其方向矢量为 和两直线共面的充要条件是 和三个矢量共面 即 三矢量的混合积为0 1 相交 3 重合 2 平行 4 两直线异面的充要条件是 两直线的夹角 因此 在直角坐标糸中 即 两直线垂直的充要条件是 两异面直线的距离 显然 两相交或重合直线的距离为零 两平行直线的距离等于其中一直线上的任一点到另一直线的距离 与两异面直线都垂直相交的直线叫做两异面直线的公垂线 两异面直线的距离就等于它们的公垂线夹于两异面直线间线段的长 空间两直线上点的最短距离叫做两条直线之间的距离 因此 两异面直线之间的距离 两直线的公垂线方程 公垂线可以看作由过点 以为方位矢量的平面及过点 以为方位矢量的平面的交线 因此 公垂线的方程为 例1 求通过点P 1 1 1 且与两直线 都相交的直线的方程 解 过 过 设所求直线的方向矢量为v X Y Z 由 可得 X Y Z 0 1 2 所求直线的方程为 则 p 例2 已知两直线 1 证明 两直线为异面直线 2 求两直线间的距离 3 求两直线的公垂线方程 解 1 两直线异面 2 3 将数据代入公垂线方程 即 它也可表示为 这条公垂线的方程就是z轴 得 习题讲解 P 1321 解 X轴的方程为 1 当不全为0 且 因此 方程 有唯一解 即x轴与已知直线相交 2 当且不全为0 方程 为矛盾方程 无解 因此 x轴与已知直线平行 3 当 0 方程 为恒等式 方程 有无穷多解 因此 x轴与已知直线重合 将它代入已知直线的方程 得 此时方程组 中只有一个独立方程 P 1336 解 即直线通过原点O P 1339 1 解 直线1 直线2 直线2过点N 0 3 4 其方向矢量 设所求直线的方向矢量为v 因v 所以v 8 7 1 它与直线1的交点设为M 9 b 39 注意到NM 共面 因此 解之 得 因此 所求直线的方程为 M N v x y z o P 1339 2 解 设所求直线L与的交点为P 它所对应的参数为L与的交点为Q 它所对应的参数为 则交点P的坐标为 交点Q的坐标为 QP就是所求直线的方向矢量 即 解之 得 由此可求出直线L的方程 P 13310 过P 2 1 0 作平面垂直已知直线 其方程为 即 直线和平面的交点M可由联立方程 解出 MP为所求直线 所求直线方程为 其方向向量为 得 作业 P 1322 1 3 1 3 4 5 2 3 7 空间直线与点的相关位置 空间直线与点的相关位置 直线L 1 点M在直线L上 即点M的坐标满足直线L的方程 求点M到直线L的距离 其中 v X Y Z 2 点M在不直线L上 即点M的坐标不满足直线L的方程 与点 具体计算公式见P 134 1 习题讲解 P 1341 直线 通过原点的条件是什么 解 作业 P 1342 3 8 平面束 定义 有轴平面束 空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束 并称L那条直线为平面束的轴 定理 如果两个平面 其中和是不全为零的实数 证见P 135 136 交于一条直线L 在求解具体问题时 有轴平面束的方程常写成 那么 以L为轴的有轴平面束的方程是 平行平面束 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束 1 如果两个平面 为平行平面 其中和是不全为零的实数 且 否则左端恒为零 2 由平面 所决定的平面束的方程是 其中为任意实数 这是常用的形式 那么 平行平面束的方程是 空间 有轴平面束 和 平行平面束 这两个概念 退化到平面上 有 中心直线束 和 平行直线束 的概念 中心直线束 如果给定了平面上的两条直线 若两直线相交 那么过交点的所有直线的集合叫做中心直线束 那个点叫做直线束的中心 若两直线平行 所有与它们平行的直线的集合叫做平行直线束 这些直线确定的方向叫做直线束的方向 方程 当两直线相交时 表示中心直线束 其中不全为零 当两直线平行时 表示平行直线束 其中 下例用 有轴平面束 概念来求解是非常方便的 例1 求通过直线L 且与平面 相垂直的平面方程 解 过直线L的平面束方程为 即 由于所求平面与已知平面垂直 因此 即 取 1 代入 1 得 P 1394 解 L 过直线L的平面束方程为 即 由于点P 4 1 2 到所求平面的距离为d 3 因此 解之 得 因此 所求平面的方程是 P 1398 直线方程L 的糸数应满足什么条件才能使该直线在坐标平面xoz内 解 如果直线L在坐标面xoz内 那么 坐标面xoz一定是在过直线L的平面束上 过L的平面束方程为 即 坐标面xoz的方程为 y 0 即 所以 如果直线以对称式方程表示 那么 如前所述 两直线共面的充要条件是 如直线以一般方程表示 我们将证明 两直线共面的充要条件是 证明 通过直线的任意平面可表示为 通过直线的任意平面可表示为 要使两直线共面 就是说存在不全为零的实数使上面两个平面代表同一平面 经整理得