2008年中考试卷分类---函数与几何图形.doc

2008年中考试卷分类-函数与几何图形1. 如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，A=90，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.则四边形AMND的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是（ D ）2. 如图，已知正三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AEBFCG，设EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数的图象大致是（ C ）3. （潍坊）如图，圆B切y轴于原点O，过定点作圆B切线交圆于点P已知，抛物线C经过A，P两点（1）求圆B的半径；（2）若抛物线C经过点B，求其解析式；（3）投抛物线交y轴于点M，若三角形APM为直角三角形，求点M的坐标 4. （威海）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB7，CD1，ADBC5点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MNAB，MEAB，NFAB，垂足分别为E，F（1）求梯形ABCD的面积； （2）求四边形MEFN面积的最大值 （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由 解：（1）分别过D，C两点作DGAB于点G，CHAB于点H ABCD， DGCH，DGCH 四边形DGHC为矩形，GHCD1 CDABEFNMGH DGCH，ADBC，AGDBHC90， AGDBHC（HL） AGBH3 2分 在RtAGD中，AG3，AD5， DG4 CDABEFNMGH（2） MNAB，MEAB，NFAB， MENF，MENF 四边形MEFN为矩形 ABCD，ADBC， AB MENF，MEANFB90， MEANFB（AAS） AEBF 设AEx，则EF72x AA，MEADGA90， MEADGA ME 当x时，ME4，四边形MEFN面积的最大值为 （3）能 由（2）可知，设AEx，则EF72x，ME 若四边形MEFN为正方形，则MEEF 即 72x解，得 EF4 四边形MEFN能为正方形，其面积为5. （青岛）已知：如图，在RtABC中，C=900，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ若设运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC？（2）设AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由 解：（1）在RtABC中，由题意知：AP = 5t，AQ = 2t，若PQBC，则APQ ABC，图BAQPCH （2）过点P作PHAC于HAPH ABC， （3）若PQ把ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ， 解得：若PQ把ABC面积平分，则， 即3t=3 t=1代入上面方程不成立， 不存在这一时刻t，使线段PQ把RtACB的周长和面积同时平分 （4）过点P作PMAC于，PNBC于N，P BAQPC图MN若四边形PQP C是菱形，那么PQPCPMAC于M，QM=CMPNBC于N，易知PBNABC， ， ，解得：当时，四边形PQP C 是菱形 此时，在RtPMC中，菱形PQP C边长为6. （温州）如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 解：（1），点为中点，（2），ABCDERPHQM21，即关于的函数关系式为：（3）存在，分三种情况：当时，过点作于，则，ABCDERPHQ，ABCDERPHQ当时，当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，综上所述，当为或6或时，为等腰三角形7. （义乌）如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线将直线平移，平移后的直线与x轴交于点D，与轴交于点E（1）将直线向右平移，设平移距离CD为t (t0)，直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；当2t4时，求S关于t的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使PDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由。 解： （1） ，S梯形OABC=12 当时，直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积直角三角开DOE面积 （2） 存在 （每个点对各得1分） 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二： 以点D为直角顶点，作轴 设.（图示阴影），在上面二图中分别可得到点的生标为P（12，4）、P（4，4）E点在0点与A点之间不可能； 以点E为直角顶点 同理在二图中分别可得点的生标为P（，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能. 以点P为直角顶点同理在二图中分别可得点的生标为P（4，4）（与情形二重合舍去）、P（4，4），E点在A点下方不可能.综上可得点的生标共5个解，分别为P（12，4）、P（4，4）、P（，4）、P（8，4）、P（4，4）8. (大连)如图241，抛物线y=x2的顶点为P，A、B是抛物线上两点，ABx轴，四边形ABCD为矩形，CD边经过点P，AB = 2AD求矩形ABCD的面积；如图242，若将抛物线“y=x2”，改为抛物线“y=x2+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积；若将抛物线“y=x2+bx+c”改为抛物线“y=ax2+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积(用a、b、c表示，并直接写出答案)附加题：若将24题中“y=x2”改为“y=ax2+bx+c”，“AB = 2AD”条件不要，其他条件不变，探索矩形ABCD面积为常数时，矩形ABCD需要满足什么条件？并说明理由 9. （东莞）将两块大小一样含30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ABD不动，将ABC向轴的正方向平移到FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围. （1）， 等腰； （2）共有9对相似三角形.（写对35对得1分，写对68对得2分，写对9对得3分） DCE、ABE与ACD或BDC两两相似，分别是：DCEABE，DCEACD，DCEBDC，ABEACD，ABEBDC；(有5对)ABDEAD，ABDEBC；(有2对)BACEAD，BACEBC；(有2对)所以，一共有9对相似三角形. K（3）由题意知，FPAE， 1PFB，又 1230， PFB230, FPBP.6分过点P作PKFB于点K，则. AFt，AB8， FB8t，.在RtBPK中，. FBP的面积， S与t之间的函数关系式为： ，或. t的取值范围为：.10. (大连) 如图，ABC的高AD为3，BC为4，直线EFBC，交线段AB于E，交线段AC于F，交AD于G，以EF为斜边作等腰直角三角形PEF(点P与点A在直线EF的异侧)，设EF为x，PEF与四边形BCEF重合部分的面积为y求线段AG(用x表示)；求y与x的函数关系式，并求x的取值范围11. （金华）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P,使OPD的面积等于,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. （1）如图，过点B作BEy轴于点E，作BFx 轴于点F.由已知得BF=OE=2, OF= = 点B的坐标是( ，2) （1分）设直线AB的解析式是y=kx+b，则有 解得 （2分）直线AB的解析式是y= x+4 （1分）(2) 如图，ABD由AOP旋转得到，ABDAOP， AP=AD， DAB=PAO，DAP=BAO=600， ADP是等边三角形，DP=AP= . （2分） 如图，过点D作DHx 轴于点H，延长EB交DH于点G,则BGDH.HGFExyBAODP方法（一）在RtBDG中，BGD=900, DBG=600.BG=BDcos600=. DG=BDsin600= . OH=EG=, DH= 点D的坐标为( , ) （2分）方法（二）易得AEB=BGD=900，ABE=BDG， ABEBDG， 而AE=2, BD=OP= ， BE=2, AB=4,则有 ，解得BG= ，DG= OH= , DH= 点D的坐标为(, ) （2分） (3)假设存在点P, 在它的运动过程中,使OPD的面积等于 .HGFExyBAODP设点P为（t，0），下面分三种情况讨论:当t0时，如图，BD=OP=t, DG=t, DH=2+t. OPD的面积等于 ， ，解得 , ( 舍去) . 点P1的坐标为 (, 0 )当t0时，如图，BD=OP=t, BG=t, x yBAODPHGFEDH=GF=2（t）=2+t. OPD的面积等于， ，解得 , . 点P2的坐标为(, 0)，点P3的坐标为(, 0).当t 时，如图，BD=OP=t, DG=t, x yBAODPHGEDH=t2. OPD的面积等于 ， ，解得 (舍去), 点P4的坐标为(, 0)综上所述,点P的坐标分别为P1 (, 0)、P2 ( , 0)、P3 ( , 0) 、P4 ( , 0) 12. （衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求OAB的度数，并求当点A在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。 解：(1) A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)， ， 当点A在线段AB上时，TA=TA， ATA是等边三角形，且， ，AABPTECOyx ， 当A与B重合时，AT=AB=， 所以此时。 (2)当点A在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA与CB的交点)，AATCOyxPF 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0) 又由(1)中求得当A与B重合时，T的坐标是(6，0)BE 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。 (3)S存在最大值 当时， 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，当t=6时，S的值最大是。当时，由图，重叠部分的面积AEB的高是， 当t=2时，S的值最大是；当，即当点A和点P都在线段AB的延长线是(如图，其中E是TA与CB的交点，F是TP与CB的交点)，四边形ETAB是等腰形，EF=ET=AB=4，综上所述，S的最大值是，此时t的值是。13. （梅州）如图11所示，在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系（1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由） 解： （1） DCAB，AD=DC=CB， CDB=CBD=DBA， DAB=CBA， DAB=2DBA， DAB+DBA=90， DAB=60， DBA=30，AB=4， DC=AD=2， RtAOD，OA=1，OD=，A（-1，0），D（0， ），C（2， ）、（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（1，0），B（3，0），故可设所求为 = （+1）（ -3） 将点D（0， ）的坐标代入上式得， =所求抛物线的解析式为 = 其对称轴L为直线=1（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B， P1DB为等腰三角形； 因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；与同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5 由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个14. （丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线X=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线X=2交于点P，顶点M到A点时停止移动（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m,用m的代数式表示点P的坐标；当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使QMA 的面积与PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）设所在直线的函数解析式为，（2，4），, ,所在直线的函数解析式为.（2）顶点M的横坐标为，且在线段上移动， （02）.顶点的坐标为(,).抛物线函数解析式为.当时，（02）.点的坐标是（2，）. =， 又02，当时，PB最短. （3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.假设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）.当点落在直线的下方时，过作直线/，交轴于点，DOABPMCE，点的坐标是（0，）.点的坐标是（2，3），直线的函数解析式为.，点落在直线上.=.解得，即点（2，3）.点与点重合.此时抛物线上不存在点，使与的面积相等.（2分）当点落在直线的上方时，作点关于点的对称称点，过作直线/，交轴于点，、的坐标分别是（0，1），（2，5），直线函数解析式为.，点落在直线上.=.解得：，.代入，得，.此时抛物线上存在点，使与的面积相等. （2分）综上所述，抛物线上存在点， 使与的面积相等.15. （绍兴）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点P的运动时间为（秒）（1）用含t的代数式表示OP，OQ；（2）当t=1时，如图1，将OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；（3）连结AC，将OPQ沿PQ翻折，得到EPQ，如图2问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由 解：（1），图1OPAxBDCQy图2OPAxBCQy图3OFAxBCyEQP（2）当时，过点作，交于，如图1，则，（3）能与平行若，如图2，则，即，而，不能与垂直若，延长交于，如图3，则又，而，不存在16. (台州)如图，在矩形ABCD中，点P是边BC上的动点（点P不与点B,C重合），过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？ 解：（1）如图，四边形是矩形，DQCBPRA（第24题）又，DQCBPRA（图1）（2）如图1，由轴对称的性质可知，由（1）知，在中，根据题意得：，解这个方程得：（3）当点在矩形的内部或边上时，DQCBPRA（图2）FE，当时，当在矩形的外部时（如图2），在中，又，在中，当时，综上所述，与之间的函数解析式是：矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；当时，根据题意，得：，解这个方程，得，因为，所以不合题意，舍去所以综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的17. 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式. 解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；则设抛物线的解析式为(a0) 又点D(0，-3)在抛物线上，a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1 y=x2-2x-3 自变量范围：-1x3 (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM， 在RtMOC中，OM=1，CM=2，CMO=60,OC= 在RtMCE中，OC=2，CMO=60，ME=4 点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0) AOBMDC解图12yxE切线CE的解析式为 (3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k0) 由题意可知方程组只有一组解 即有两个相等实根，k=-2 过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-318. （嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点O(0,0)，A（2，0），点B在第一象限且OAB为正三角形，OAB的外接圆交轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交轴于点D（1）求B，C两点的坐标；（2）求直线CD的函数解析式；（3）设E，F别是线段AB，AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长试探究：AEF的最大面积？ （1），作于，为正三角形，（第24题）连，（2），是圆的直径，（第24题）又是圆的切线，设直线的函数解析式为，则，解得直线的函数解析式为（3），四边形的周长设，的面积为，则，当时，点分别在线段上，解得满足，的最大面积为19. （杭州）在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B，C两点（OB1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记QNM的面积为SQNM，QNR的面积SQNR，求SQNM：SQNR的值. 21. （重庆）已知：如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ。当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。22. （东营）在ABC中，A90，AB4，AC3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN令AMx（1）用含x的代数式表示NP的面积S；（2）当x为何值时，O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？解：（1）MNBC，AMN=B，ANMC ABCMNP图 1O AMN ABC ，即 ANx =（04） ABCMND图 2OQ（2）如图2，设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN在RtABC中，BC =5 由（1）知 AMN ABC ，即 ， 过M点作MQBC 于Q，则 在RtBMQ与RtBCA中，B是公共角， BMQBCA ， x 当x时，O与直线BC相切 ABCMNP图 3O（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点 MNBC， AMN=B，AOMAPC AMO ABP AMMB2 故以下分两种情况讨论： 当02时， 当2时， 当24时，设PM，PN分别交BC于E，FABCMNP图 4OEF 四边形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四边形MBFN是平行四边形 FNBM4x 又PEF ACB 当24时， 当时，满足24， 综上所述，当时，值最大，最大值是223. （上海）正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC于点G，BAE的平分线交射线BC于点O（1）如图8，当CE=时，求线段BG的长；（2）当点O在线段BC上时，设，BO=y，求y关于x的函数解析式；（3）当CE=2ED时，求线段BO的长 解：（1）在边长为2的正方形中，得，又，即，得 ，； （2）当点在线段上时，过点作，垂足为点，为的角平分线， 在正方形中， 又，得在RtABG中，即，得，；（3）当时，当点在线段上时，即，由（2）得； 当点在线段延长线上时，在 RtADE中，设交线段于点，是的平分线，即，又， ，即，得24. （中山）如图11，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR中，QPR=120，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为S平方厘米。（1）当t=4时，求S的值；（2）当4t10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值。 （1）t4时,Q与B重合，P与D重合，重合部分是25. 如图：抛物线经过A（3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点 （1） 求抛物线的解析式 （2）已知AD AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQMC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 （1）解法一：设抛物线的解析式为y a (x 3 )(x 4) 因为B（0，4）在抛物线上，所以4 a ( 0 3 ) ( 0 4 )解得a 1/3 所以抛物线解析式为解法二：设抛物线的解析式为，依题意得：c4且 解得 所以 所求的抛物线的解析式为（2）连接DQ，在RtAOB中，所以ADAB 5，ACADCD3 4 7，CD AC AD 7 5 2因为BD垂直平分PQ，所以PDQD，PQBD，所以PDBQDB因为ADAB，所以ABDADB，ABDQDB，所以DQAB所以CQDCBACDQCAB，所以CDQ CAB 即所以APAD DP AD DQ5 ，所以t的值是（3）答对称轴上存在一点M，使MQMC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为所以A（ 3，0），C（4，0）两点关于直线对称连接AQ交直线于点M，则MQMC的值最小过点Q作QEx轴，于E，所以QEDBOA900 DQAB， BAOQDE， DQE ABO 即 所以QE，DE，所以OE OD DE2，所以Q（，）设直线AQ的解析式为则 由此得 所以直线AQ的解析式为 联立由此得 所以M则：在对称轴上存在点M，使MQMC的值最小26. （龙岩）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，C=60，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，问当x为何值时PDQ的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由. （1）解法一：如图25-1过A作AECD，垂足为E . 依题意，DE=. 2分 在RtADE中，AD=. 5分图25-1 解法二：如图25-2 过点A作AEBC交CD于点E，则CE=AB=4 . 2分 AED=C=60. 又D=C=60， AED是等边三角形 . AD=DE=94=5 . 5分 （2）解：如图25-1图25-2CP=x，h为PD边上的高,依题意，PDQ的面积S可表示为：S=PDh 6分=(9x)xsin60=(9xx2) =(x)2. 8分由题意，知0x5 . 9分当x=时（满足0x5），S最大值=. 10分 （3）证法一：如图25-3假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . 11分 于是9x=x，x=. 此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP .PDQ恰为等边三角形 . 过点Q作QMDC，交BC于M，点M即为所求.连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .图25-3 易证MCPQDP，D=3 . MP=PD MPQD , 四边形PDQM是平行四边形 . 又MP=PD , 四边形PDQM是菱形 . 13分 所以存在满足条件的点M，且BM=BCMC=5=. 14分 注 本题仅回答存在，给1分. 证法二：如图25-4假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . 11分 于是9x=x，x=. 此时，点P、Q的位置如图25-4所示，PDQ恰为等边三角形 . 过点D作DOPQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ， MP=MQ . 易知1=C . PQBC . 又DOPQ， MCMD图25-4 MP= CD=PD 即MP=PD=DQ=QM 四边形PDQM是菱形 13分所以存在满足条件的点M，且BM=BCMC=5= 14分 注 本题仅回答存在，给1分.27. （南平）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（其中m0），在BC边上选取适当的点E和点F，将OCE沿OE翻折，得到OGE；再将ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到AGF，且OGA=900（1）求m的值；（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程） （1）解法一：，由题意可知，2分，3分又，4分解法二：，由题意可知，2分，3分4分（2）解法一：过作直线轴于，则，故5分又由（1）知，设过三点的抛物线解析式为抛物线过原点，6分又抛物线过两点， 解得所求抛物线为8分它的对称轴为9分解法二：过作直线轴于，则，故5分又由（1）知，点关于直线对称，点为抛物线的顶点6分于是可设过三点的抛物线解析式为抛物线过点，解得所求抛物线为8分它的对称轴为9分（3）答：存在10分满足条件的点有，28. （宁德）如图1，在RtABC中，C90，BC8厘米，点D在AC上，CD3厘米点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米设运动的时间为x秒（0X8），DCQ的面积为y1平方厘米，PCQ的面积为y2平方厘米求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；在图2中，点G是x轴正半轴上一