切割线定理习题.doc

切割线定理一、 回顾旧知：请结合以上的两图写出相交弦定理及推论的内容：相交弦定理： 。A二、探索发现：P点从圆内向圆外移动时结论：PA PB=PCPD是否成立？你能给出合理的证明吗？三、练习：（1）已知PAB、PCD是圆O的割线，PA=5 ， AB=3 ，CD=3，则PC （2）已知PT是圆O的切线，PA=4， PT=6 ，则圆O的面积 （3）已知 ：圆、圆相交于A、B， P是BA延长线上的一点，PCD是圆的割线，PEF是圆的割线， 求证：PC PD=PE PF巩固加深一、选择题（共15小题）1如图，PAB为割线且PA=AB，PO交O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（）A. B. C. D. 第1题 第2题 第3题 2如图，O的割线PAB交O于点A，B，PA=14cm，AB=10cm，PO=20cm，则O的半径是（）A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 14cm3如图，已知O的弦AB、CD相交于点P，PA=4cm，PB=3cm，PC=6cm，EA切O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE=cm，则PE的长为（）A. 4cm B. 3cm C. 5cm D. cm4如图，O1与O2相交于A、B两点，PQ切O1于点P，交O2于点Q、M，交AB的延长线于点N若MN=1，MQ=3，则NP等于（）A. 1 B. C. 2 D.3第4题 第5题 第7题5如图，PAB、PCD是O的两条割线，PA=3，AB=5，PC=4，则CD等于（）A.6 B. 3 C. D. 6已知PA是O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10cm，PB=5cm，则O的半径长为（）A. 15cm B. 10cm C. 7.5cm D. 5cm7（2004锦州）如图，O和O都经过点A和点B，点P在BA的延长线上，过P作O的割线PCD交O于C、D，作O的切线PE切O于E，若PC=4，CD=5，则PE等于（）A. 6 B. 2 C. 20 D.368如图O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）A. CECD=BEBA B. CEAE=BEDE C. PCCA=PBBD D. PCPA=PBPD第8题 第10题 第11题9已知AB为O的直径，C为AB的延长线上一点，过C的直线与相切于点D，若BC=2，CD=4，则O的半径长是（）A.3 B.6 C.8 D. 无法计算10如图，已知O1、O2相交于A、B两点，且点O1在O2上，过A作O1的切线AC交BO1的延长线于点P，交O2于点C，BP交O1于点D，若PD=1，PA=，则AC的长为（）A. B. C. D. 11如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB，PCD分别为这两圆的割线若PA=3，PB=6，PC=2，则PD等于（）A.12 B.9 C. 8 D.412如图，在RtABC中，AC=5，BC=12，O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则O的半径是（）A. B. C. D. 第12题 第13题 第14题13如图，已知PAC为O的割线，连接PO交O于B，PB=2，OP=7，PA=AC，则PA的长为（）A. B. 2 C. D. 314如图，PA，PB为O的切线，A，B分别为切点，APB=60，点P到圆心O的距离OP=2，则O的半径为（）A. B.1 C. D.215（2007双柏县）如图，已知PA是O的切线，A为切点，PC与O相交于B、C两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA的长等于（）A. 4cm B. 16cm C. 20cm D. 2cm二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16（2003泸州）如图，O1与O2相交于C、D两点，O1的割线PAB与DC的延长线交于点P，PN与O2相切于点N，若PB=10，AB=6，则PN=_第16题 第17题 第18题17如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B、C，若PA=6，PB=4，弧AB的度数为60，则BC=_，PCA=_度，PAB=_度18如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切O于E，与BA的延长线交于F，EF的长_19如图，已知O的割线PAB交O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO交O于点C，且PO=10cm，则O的半径为_cm第19题 第20题 第21题20如图，PA、PB与O分别相切于点A、点B，AC是O的直径，PC交O于点D，已知APB=60，AC=2，那么CD的长为_21如图，在ABC中，C=90度以BC为直径作O与斜边AB交于点D，且AD=3.2cm，BD=1.8cm，则AC=_cm22如图，PT是半径为4的O的一条切线，切点为T，PBA是经过圆心的一条割线，若B是OP的中点，则PT的长是_第22题 第23题 第24题23如图，已知O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=2，那么PE的长_24如图，O的割线PAB交O于点A、B，PA=7cm，AB=5cm，PO=10cm，则O的半径为_25如图，已知两圆相交于CD两点，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，CD的延长线交AB于M，若MD=3，CD=9，则AB的长等于_第25题 第26题 第27题26如图，PT是O的切线，切点是T，M是O内一点，PM及PM的延长线交O于B，C，BM=BP=2，PT=，OM=3，那么O的半径为_27如图，已知AB是O的直径，BC是和O相切于点B的切线，O的弦AD平行于OC，若OA=2，且AD+OC=6，则CD=_28如图，已知PA为O的切线，PBC为O的割线，PA=，PB=BC，O的半径OC=5，那么弦BC的弦心距OM=_第28题 第29题 第30题29如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则AD=_30如图，PT切O于点T，直径BA的延长线交PT于点P，若PT=4，PA=2，则O的半径长是_31如图，AB是O的直径，CB、CE分别切O于点B、D，CE与BA的延长线交于点E，连接OC、OD（1）OBC与ODC是否全等？_（填“是”或“否”）；（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算O半径r的一种方案：你选用的已知数是_；写出求解过程（结果用字母表示）【单点训练】切割线定理参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1（2004呼和浩特）如图，PAB为割线且PA=AB，PO交O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（）ABCD考点：切割线定理2113692专题：计算题分析：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，由半径OC的长，得到半径OE的长，再由OE+OP得出EP的长，OPOC得出CP的长，由PA=AB，设出PA=AB=x，则BP=2x，根据四边形ACEB为圆O的内接四边形，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形ACP与三角形EBP相似，由相似得比例，将各自的长代入列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AB的长解答：解：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，OC=3，OP=5，OE=OC=3，EP=OE+OP=3+5=8，CP=OPOC=53=2，设PA=AB=x，则BP=2x，四边形ACEB为圆O的内接四边形，ACP=E，又P=P，ACPEBP，=，即=，解得：x=2或x=2（舍去），则AB=2故选B点评：此题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了转化及方程的思想，其中作出如图所示的辅助线是解本题的关键2（2006泰安）如图，O的割线PAB交O于点A，B，PA=14cm，AB=10cm，PO=20cm，则O的半径是（）A8cmB10cmC12cmD14cm考点：切割线定理2113692分析：根据切割线定理代入公式即可求解解答：解：设圆O的半径是x，则PAPB=（POr）（PO+r），14（14+10）=（20x）（20+x），解得x=8故选A点评：本题的关键是利用割线定理求线段的长3（2004镇江）如图，已知O的弦AB、CD相交于点P，PA=4cm，PB=3cm，PC=6cm，EA切O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE=cm，则PE的长为（）A4cmB3cmC5cmDcm考点：切割线定理；相交弦定理2113692分析：首先根据相交弦定理得PAPB=PCPD，得PD=2设DE=x，再根据切割线定理得AE2=EDEC，即x（x+8）=20，x=2或x=10（负值舍去），则PE=2+2=4解答：解：PAPB=PCPD，PA=4cm，PB=3cm，PC=6cm，PD=2；设DE=x，AE2=EDEC，x（x+8）=20，x=2或x=10（负值舍去），PE=2+2=4故选A点评：此题综合运用了相交弦定理和切割线定理4（2004淮安）如图，O1与O2相交于A、B两点，PQ切O1于点P，交O2于点Q、M，交AB的延长线于点N若MN=1，MQ=3，则NP等于（）A1BC2D3考点：切割线定理；切线长定理2113692分析：根据切线长定理得PN2=NBNA，根据割线定理得NBNA=NMNQ，所以PN2=NMNQ即可求得PN的长解答：解：PN2=NBNA，NBNA=NMNQ，PN2=NMNQ=4，PN=2故选C点评：此题能够有机地把切割线定理和割线定理相结合，把要求的线段和已知的线段联系到一起5（2004三明）如图，PAB、PCD是O的两条割线，PA=3，AB=5，PC=4，则CD等于（）A6B2CD考点：切割线定理2113692分析：首先求得PB的长，再根据割线定理得PCPD=PAPB即可求得PD及CD的长解答：解：PA=3，AB=5，PC=4，PB=8，PCPD=PAPB，PD=6，CD=64=2故选B点评：此题主要是运用了割线定理6（2005荆门）已知PA是O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10cm，PB=5cm，则O的半径长为（）A15cmB10cmC7.5cmD5cm考点：切割线定理2113692分析：根据切割线定理分析解答解答：解：根据切割线定理的PA2=POPC，所以100=5PC，PC=20cm，BC=205=15cm因为PBC是过点O的割线，所以O的半径长为15=7.5cm故选C点评：利用切割线解题时要注意BC是直径，而求得是半径，不要误选A7（2004锦州）如图，O和O都经过点A和点B，点P在BA的延长线上，过P作O的割线PCD交O于C、D，作O的切线PE切O于E，若PC=4，CD=5，则PE等于（）A6B2C20D36考点：切割线定理2113692分析：根据割线定理得PAPB=PCPD，根据切割线定理得PE2=PAPB，所以PE2=PCPD，从而可求得PE的长解答：解：PAPB=PCPD，PE2=PAPB，PC=4，CD=5，PE2=PCPD=36，PE=6故选A点评：注意：割线定理和切割线定理的运用必须在同一个圆中这里借助割线PAB，把要求的线段和已知线段建立了关系8（2004天津）如图O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）ACECD=BEBABCEAE=BEDECPCCA=PBBDDPCPA=PBPD考点：切割线定理；相交弦定理2113692分析：根据相交弦定理的割线定理即可求解解答：解：由相交弦定理知，CEED=BEAE，由割线定理知，PCPA=PBPD，只有D正确故选D点评：本题利用了相交弦定理和割线定理9（2003资阳）已知AB为O的直径，C为AB的延长线上一点，过C的直线与相切于点D，若BC=2，CD=4，则O的半径长是（）A3B6C8D无法计算考点：切割线定理2113692分析：设圆的半径是x，根据切割线定理得CD2=CBAC，可求得CA与AB的长，从而可得到圆的半径解答：解：设圆的半径是x；CD2=CBAC，BC=2，CD=4，CA=8，AB=6，圆的半径是3故选A点评：此题主要是运用了切割线定理10（2003武汉）如图，已知O1、O2相交于A、B两点，且点O1在O2上，过A作O1的切线AC交BO1的延长线于点P，交O2于点C，BP交O1于点D，若PD=1，PA=，则AC的长为（）ABCD考点：切线的性质；勾股定理；切割线定理2113692专题：综合题分析：根据PA2=PDPB，作为相等关系可求得PB=5，BD=4，O1D=O1B=2，再根据割线定理PAPC=PO1PB，可求得PC=3，从而求得AC=2解答：解：PA2=PDPB，即（）2=1PB，解得PB=5，BD=BPPD=51=4，O1D=O1B=42=2，PAPC=PO1PB，PC=35，即PC=3，AC=PCAP=3=2故选B点评：根据切割线定理和割线定理解答此题要关注两个关键点：A为两圆交点，PB过点O111（2004温州）如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB，PCD分别为这两圆的割线若PA=3，PB=6，PC=2，则PD等于（）A12B9C8D4考点：切割线定理2113692分析：根据切割线定理得PT2=PAPB，PT2=PCPD，所以PAPB=PCPD，从而可求得PD的长解答：解：PT2=PAPB，PT2=PCPD，PAPB=PCPD，PA=3，PB=6，PC=2，PD=9故选B点评：注意：切割线定理和割线定理都是在同一个圆中运用的此题借助切线把要求的线段和已知线段联系到了一起12（2006临沂）如图，在RtABC中，AC=5，BC=12，O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则O的半径是（）ABCD考点：切割线定理；切线长定理2113692分析：根据切线长定理得AE=AC，根据勾股定理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线定理得BE2=BDBC，从而可求得BD的长，也就得到了半径的长解答：解：AE=AC=5，AC=5，BC=12，AB=13，BE=8；BE2=BDBC，BD=，CD=，圆的半径是，故选A点评：此题综合运用了切线长定理、勾股定理和切割线定理13（2004沈阳）如图，已知PAC为O的割线，连接PO交O于B，PB=2，OP=7，PA=AC，则PA的长为（）AB2CD3考点：切割线定理2113692分析：设PA=x，延长PO交圆于D，根据割线定理得PAPC=PBPD即可求得PA的长，也就求得了AC的长解答：解：设PA=x，延长PO交圆于D，PAPC=PBPD，PB=2，OP=7，PA=AC，x2x=24，x=2故选B点评：此题通过作辅助线构造割线定理列方程求解14（2006永州）如图，PA，PB为O的切线，A，B分别为切点，APB=60，点P到圆心O的距离OP=2，则O的半径为（）AB1CD2考点：切割线定理；等边三角形的性质；勾股定理2113692分析：根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知APO的度数，连接OA，可知OAAP，故在RtAOP中，根据三角函数公式，可将半径求出解答：解：连接OAPA为O的切线PAOAAPO=APB=30OA=OPsinAPO=2=1O的半径为1故选B点评：本题主要考查圆的切线长定理15（2007双柏县）如图，已知PA是O的切线，A为切点，PC与O相交于B、C两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA的长等于（）A4cmB16cmC20cmD2cm考点：切割线定理2113692分析：根据已知得到PC的长，再根据切割线定理即可求得PA的长解答：解：PB=2cm，BC=8cm，PC=10cm，PA2=PBPC=20，PA=2，故选D点评：此题主要是运用了切割线定理注意：切线长的平方应是PB和PC的乘积二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16（2003泸州）如图，O1与O2相交于C、D两点，O1的割线PAB与DC的延长线交于点P，PN与O2相切于点N，若PB=10，AB=6，则PN=2考点：切割线定理2113692分析：根据割线定理和切割线定理，可以证明PAPB=PCPD=PN2，从而求得PN的值解答：解：根据割线定理，得PAPB=PCPD=（106）10=40，根据切割线定理，得PN2=PCPD=40，则PN=2故答案为：2点评：此题综合运用了割线定理和切割线定理进行计算17（2003常州）如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B、C，若PA=6，PB=4，弧AB的度数为60，则BC=5，PCA=30度，PAB=30度考点：切割线定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理2113692分析：根据切割线定理得PA2=PBPC可求得PC与BC的长，根据圆周角定理知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，即PCA=30，最后根据弦切角定理得PAB=30解答：解：PA2=PBPC，PA=6，PB=4；PC=9，BC=5；弧AB的度数为60，PCA=30，PAB=30点评：此题综合运用了切割线定理和圆周角、弦切角与弧的度数的关系18（2001内江）如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切O于E，与BA的延长线交于F，求EF的长答：EF=a考点：切割线定理；圆周角定理2113692分析：本题利用切线的性质，割线定理，及圆周角定理，结合相似三角形的性质解答解答：解：连接OE；CE切O于E，OECF，EFOBFC，=；又OE=AB=BC，EF=FB；设EF=x，则FB=2x，FA=2x2a；FE切O于E，FE2=FAFB，x2=（2x2a）2x，解得x=a，EF=a点评：本题考查切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质解答此题的关键是连接OE，构造出相似三角形，再解答19（1999贵阳）如图，已知O的割线PAB交O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO交O于点C，且PO=10cm，则O的半径为4cm考点：切割线定理2113692分析：延长PO交O于D，设O的半径是xcm根据割线定理列方程求解解答：解：延长PO交O于D，设O的半径是xcm根据割线定理，得PAPB=PCPD即（10x）（10+x）=6（6+8），100x2=84，x2=16，x=4（负值舍去）即圆的半径是4cm点评：此题主要是通过作辅助线，构造割线，熟练运用割线定理列方程求解20（2002四川）如图，PA、PB与O分别相切于点A、点B，AC是O的直径，PC交O于点D，已知APB=60，AC=2，那么CD的长为考点：切割线定理；切线的性质2113692分析：连接AD，OB，OP，根据已知可求得AP，PC的长，再根据切割线定理得，PA2=PDPC，从而可求得PD与CD的长解答：解：连接AD，OB，OP；PA、PB与O分别相切于点A、点B，OAP=OBP=90，AOB=180P=120，AOP=60，AP=AOtan60=，PC=；PA2=PDPC，PD=，CD=点评：本题考查切线的性质，勾股定理，四边形的内角和为360，切割线定理等的综合运用21（2004泸州）如图，在ABC中，C=90度以BC为直径作O与斜边AB交于点D，且AD=3.2cm，BD=1.8cm，则AC=4cm考点：切割线定理；切线的判定2113692分析：先根据已知条件，证得AC是O的切线；然后运用切割线定理求出AC的长解答：解：BC是O的直径，ACBC，AC是O的切线，且切点为C；由切割线定理，得：AC2=ADAB，AD=3.2cm，BD=1.8cm，AB=5cm，AC2=3.25=16，即AC=4cm故答案为：4点评：解决此题的关键是能够发现AC是圆的切线，再熟练运用切割线定理求解22（2002丽水）如图，PT是半径为4的O的一条切线，切点为T，PBA是经过圆心的一条割线，若B是OP的中点，则PT的长是4考点：切割线定理2113692分析：根据题意，得PB=4，PA=12；再根据切割线定理得PT2=PBPA，即可求得PT的值解答：解：半径为4，B是OP的中点，PB=4，PA=12，PT2=PBPA，PT=4点评：此题主要是考查了切割线定理的运用23（1999成都）如图，已知O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=2，那么PE的长4考点：切割线定理；相交弦定理2113692分析：首先根据相交弦定理求得PD的长，再根据切割线定理求得DE的长，进而可求出PE的长解答：解：PA=4，PB=3，PC=6，PD=2设DE=xEA切O于点A，EA2=EDEC，即x（x+8）=20，x2+8x20=0，x=2，x=10（负值舍去）则PE=DE+PD=4点评：此题综合运用了相交弦定理和切割线定理24（2006余姚市）如图，O的割线PAB交O于点A、B，PA=7cm，AB=5cm，PO=10cm，则O的半径为4考点：切割线定理2113692分析：根据割线定理求解解答：解：延长PO交圆于点D，由割线定理知，PAPB=PCPD=（POCO）（PO+CD），代入数据解得，CO=4点评：本题利用了割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PAPB=PCPD25（2001湖州）如图，已知两圆相交于CD两点，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，CD的延长线交AB于M，若MD=3，CD=9，则AB的长等于12考点：切割线定理2113692分析：根据切割线定理得AM2=MDMC=36，BM2=MDMC，从而可求得AM=BM=6，即得到了AB的长解答：解：AM2=MDMC=36，BM2=MDMC，MD=3，CD=9；AM=BM=6，AB=12点评：此题主要是运用切割线定理进行计算26（2000金华）如图，PT是O的切线，切点是T，M是O内一点，PM及PM的延长线交O于B，C，BM=BP=2，PT=，OM=3，那么O的半径为考点：切割线定理；勾股定理；垂径定理2113692分析：已知了PT、BP的长，根据切割线定理易求得BC的长；在线段OM的基础上作O的直径，根据相交弦定理即可求出O的半径解答：解：PT是O的切线，由切割线定理，得：PT2=PBPC；PT=2，BP=2；PC=PT2PC=10；BC=8，CM=6；过O、M作O的直径，交O于E、F；设O的半径为R，则EM=R+3，MF=R3；由相交弦定理，得：（R+3）（R3）=BMMC；R29=26，即R=故O的半径为点评：此题综合考查了切割线定理和相交弦定理27（2000台州）如图，已知AB是O的直径，BC是和O相切于点B的切线，O的弦AD平行于OC，若OA=2，且AD+OC=6，则CD=考点：切割线定理；平行线的性质；圆周角定理2113692专题：计算题分析：连接BD，根据ADOC，易证得OCBD，根据垂径定理知：OC垂直平分BD，可得CD=CB，因此只需求出CB的长即可；延长AD，交BC的延长线于E，则OC是ABC的中位线；设未知数，表示出OC、AD、AE的长，然后在RtABE中，表示出BE的长；最后根据切割线定理即可求出未知数的值，进而可在RtCBO中求出CB的长，即CD的长解答：解：连接BD，则ADB=90；ADOC，OCBD；根据垂径定理，得OC是BD的垂直平分线，即CD=BC；延长AD交BC的延长线于E；O是AB的中点，且ADOC；OC是ABE的中位线；设OC=x，则AD=6x，AE=2x，DE=3x6；RtABE中，根据勾股定理，得：BE2=4x216；由切割线定理，得BE2=EDAE=2x（3x6）；4x216=2x（3x6），解得x=2，x=4；当x=2时，OC=OB=2，由于OC是RtOBC的斜边，显然x=2不合题意，舍去；当x=4时，OC=4，OB=2；在RtOBC中，CB=2CD=CB=2点评：本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质、切割线定理、中位线定理等知识，综合性强，难度较大28（2005河南）如图，已知PA为O的切线，PBC为O的割线，PA=，PB=BC，O的半径OC=5，那么弦BC的弦心距OM=4考点：切割线定理2113692分析：根据切割线定理得到PA2=PBPC，设BC=x，则PB=x，PC=2x，因而得到2x2=72，解得x=6；OMBC，则满足垂