同济六版高等数学第四章第一节课件.pptVIP

4 1不定积分的概念与性质 一 原函数与不定积分的概念 二 基本积分表 三 不定积分的性质 上页 下页 铃 结束 返回 首页 微分法 积分法 互逆运算 一 原函数与不定积分的概念 一 原函数与不定积分的概念 原函数的概念如果在区间I上 可导函数F x 的导函数为f x 即对任一x I 都有F x f x 或dF x f x dx 那么函数F x 就称为f x 或f x dx 在区间I上的原函数 原函数举例 所以sinx是cosx的原函数 因为 sinx cosx 提问 下页 问题 1 在什么条件下 一个函数的原函数存在 2 若原函数存在 它如何表示 原函数存在定理 如果函数f x 在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数F x 使对任一x I都有F x f x 简单地说就是 连续函数一定有原函数 下章证明 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 说明 1 如果函数f x 在区间I上有原函数F x 那么f x 就有无限多个原函数 F x C都是f x 的原函数 其中C是任意常数 下页 2 函数f x 的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果 x 和F x 都是f x 的原函数 则 x F x C C为某个常数 证 1 又知 故 即 属于函数族 即 不定积分中各部分的名称 称为积分号 f x 称为被积函数 f x dx 称为被积表达式 x 称为积分变量 不定积分的概念 在区间I上 函数f x 的带有任意常数项的原函数称为f x 或f x dx 在区间I上的不定积分 记作 下页 根据定义 如果F x 是f x 在区间I上的一个原函数 那么F x C就是f x 的不定积分 即 在区间I上 函数f x 的带有任意常数项的原函数称为f x 或f x dx 在区间I上的不定积分 记作 不定积分的概念 下页 C称为积分常数不可丢 例1 因为sinx是cosx的原函数 所以 如果F x 是f x 的一个原函数 则 下页 例2 合并上面两式 得到 解 如果F x 是f x 的一个原函数 则 下页 例3设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解设所求的曲线方程为y f x 则曲线上任一点 x y 处的切线斜率为y f x 2x 即f x 是2x的一个原函数 故必有某个常数C使f x x2 C 即曲线方程为y x2 C 因所求曲线通过点 1 2 故2 1 C C 1 于是所求曲线方程为y x2 1 因为 下页 函数f x 的积分曲线也有无限多 函数f x 的不定积分表示f x 的一簇积分曲线 而f x 正是积分曲线的斜率 积分曲线函数f x 的原函数的图形称为f x 的积分曲线 下页 2x的积分曲线 例3 质点在距地面 处以初速 力 求它的运动规律 解 取质点运动轨迹为坐标轴 原点在地面 指向朝上 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻t质点所在位置为 则 运动速度 加速度 垂直上抛 不计阻 先求 由 知 再求 于是所求运动规律为 由 知 故 微分与积分的关系从不定积分的定义可知 又由于F x 是F x 的原函数 所以 由此可见 如果不计任意常数 则微分运算与求不定积分的运算是互逆的 首页 二 基本积分表 下页 例5 例4 例6 首页 积分表 三 不定积分的性质 这是因为 f x g x 性质1 下页 三 不定积分的性质 性质1 性质2 例7 例8 下页 积分表 例10 三 不定积分的性质 性质1 性质2 例9 例11 下页 积分表 例12 例13 tanx x C 例14 例15 结束 积分表 内容小结 1 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 见P186 2 直接积分法 利用恒等变形 及基本积分公式进行积分 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 代数公式 积分性质 思考与练习 1 若 提示 2 若 是 的原函数 则 提示 已知 3 若 的导