武汉科技大学_信号与系统习题精解 第6章.doc

第6章 系统及系统的时域分析6.1学习要点1. 系统的分类（1）连续（时间）系统与离散（时间）系统（2）即时系统与动态系统（3）确定性系统与随机性系统（4）单输入-单输出系统与多输入-多输出系统（5）线性系统与非线性系统（6）时变系统与时不变系统（7）因果系统与非因果系统（8）稳定系统与非稳定系统2. 线性时不变因果稳定系统的基本特性 （1）线性（齐次性、可加性）： （6-1）（2）时不变性： （对连续系统） （6-2） （对离散系统） （6-3）（3）微积分特性： （6-4） （6-5）（4）因果性：如果，（或），则，（或）（5）稳定性：如果系统的激励时，则零状态响应3. 系统分析的任务及方法系统分析的任务是对给定的系统模型和输入信号（激励）求系统的输出信号（响应）。系统分析方法包括时域分析法和变换域分析法。本章讨论的时域分析法是直接分析时间变量(或)函数（或序列），研究系统的时间响应特性（或称时域特性），其主要优点是物理概念清楚。4. LTI系统的数学模型（输入输出方程）一个阶LTI连续系统，若其激励为，响应为，则描述该系统输入输出关系的数学模型是阶常系数线性微分方程，它可以写为： （6-6）式中，和都是常数，且。一个阶LTI离散系统，若其激励为，响应为，则描述该系统输入输出关系的数学模型是阶线性常系数差分方程，它可以表示为： （6-7）式中，和都是常数，且。5. 系统的框图表示表6-1中给出了常用基本运算单元的框图表示符号和系统激励与响应之间的运算关系（箭头表示信号传输的方向）。表6-1 常用的系统基本运算单元名称框图符号输入输出关系加法器数乘器乘法器延时器积分器移位器系统的数学模型（即输入输出方程）直接反映系统响应与激励之间的关系，便于数学分析与计算；系统框图除此之外，还以图形方式直观地表现各单元在系统中的地位与作用。两者可以相互转换，可以从系统方程画出系统框图，也可以由系统框图写出系统方程。6. LTI系统时域分析法主要包含两个方面LTI连续系统分析与离散系统分析在许多方面是相互平行的，它们有许多类似之处。（1）时域经典法：直接求解描述系统的微分（或差分）方程，算出齐次解和特解，从而得到系统的完全响应。这种方法便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程比较麻烦，在解决具体问题时不宜采用，当学习了变换域分析方法后，很多复杂的计算问题便能迎刃而解。（2）卷积法：利用卷积积分（或卷积和）运算求系统的零状态响应（至于零输入响应可以利用求齐次解的方法得到）。卷积法在连续系统分析中占有比较重要的地位。需要指出：对于LTI离散系统，由于差分方程具有递推关系，利用迭代法可求其数值解。迭代法简单易懂，便于编程实现，但只能得到数值解，不能得到闭式解。7. LTI系统全响应的分解（1）自由响应与强迫响应（从微分方程经典解求解规律考虑）根据时域经典法，微分（或差分）方程的全解由齐次解和特解组成。从系统分析的角度来说，齐次解的形式仅依赖于系统本身的特性，与激励的函数形式无关，可称为自由响应或固有响应，表示系统特性的特征方程的根称为系统的固有频率或自由频率，它们决定了系统自由响应的全部形式；而特解的形式是由激励信号决定的，故称为是强迫响应。从而，系统的全响应可分解为自由响应和强迫响应两种分量，即： = + （6-8）（2）瞬态响应与稳态响应（从的状态考虑）对于一个稳定的系统，自由响应必定随着时间的增长而逐渐趋于零。强迫响应则根据激励函数的性质可能随时间的增长趋于零，也可能趋于稳定，或者两者皆有。系统响应中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应；随着时间增长趋于稳定的部分称为稳态响应。可见，系统的全响应可以又分解成瞬态响应和稳态响应两种分量。（3）零输入响应与零状态响应（从区分起始储能与激励作用的角度考虑）系统在任意时刻的响应可以用初始状态和区间或上的激励完全地确定。初始状态代表系统的起始储能情况，可以看作是系统的另一种激励（有的书上称之为“内部激励”），这样系统的完全响应将取决于两种不同的激励，即输入信号和初始状态。即： （6-9）零输入响应输入信号为零、仅由初始状态引起的响应，即： （6-10）零状态响应初始状态为零、仅由输入信号引起的响应，即： （6-11）从而，系统的全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应两种分量，即： （6-12）例如，对于一个阶LTI系统，若其特征根均为单根，则全响应可写为： （6-13）式中 （6-14）且系统响应分量中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应，随着时间增长趋于稳定的部分称为稳态响应。根据响应各分量的定义，可以得到一些重要的结论：1）自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解。2）自由响应和零输入响应的系数不同。零输入响应的系数仅由起始储能情况决定，而自由响应的系数要同时依赖于初始状态和激励信号。3）自由响应由两部分构成，其中一部分由初始状态决定，另一部分由激励信号决定，两者都与系统自身参数有关。确切地说，自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。4）若系统初始状态为零（无初始储能），那么零输入响应为零，但自由响应可以不为零，由激励信号与系统参数共同决定。5）对LTI连续系统，零输入响应由时刻到时刻不跳变（因为此时微分方程右边为0，不含或其各阶导数项）。若全响应由时刻到时刻发生跳变，只可能出现在零状态响应分量中。6）一般来说，对于稳定系统，当激励信号为等幅（或指数增长）情况下，瞬态响应等于自由响应，而稳态响应等于强迫响应。7）当外加激励为零时，系统的零输入响应对于各初始状态呈线性（包括齐次性和可加性），即零输入线性，这可表示为： （6-15）而当初始状态为零时，系统的零状态响应对于各外加激励信号呈线性，即零状态线性，这可表示为： （6-16）（注意理解“线性系统”的概念：一个同时具有分解特性、零输入线性和零状态线性的系统才能称之为线性系统。这里，分解特性是指系统全响应可以分解为零输入响应和零状态响应。）8. LTI系统时域分析中根据初始状态（状态）求初始条件（状态）“初始条件”（或状态）：在时刻，系统的响应及其各阶导数的值，即，其中。包含输入信号（激励）的作用，不便描述系统的历史信息。“初始状态”（或状态）：在时刻，系统响应及其各阶导数的值，即。可以反映系统的历史情况，而与激励无关（因为此时激励尚未接入），它们为求得的响应提供了以往历史的全部信息。通常，实际工程上，对于具体的系统，初始状态常常容易得到。这样，为求解描述LTI系统的微分方程，就需要从已知的初始状态设法求得初始条件。需要指出的是，当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从状态到状态有没有跳变取决于微分方程右边激励项是否包含冲激信号或其各阶导数。如果方程右边不包含或其各阶导数，说明相应的状态到状态没有发生跳变，即在处连续，所以=。否则，如果方程右边包含或其各阶导数，说明相应的状态到状态发生了跳变，即或等等。为确定初始条件（）的值，在时域分析中有两种方法:1）利用物理概念对电路模型进行分析判断。2）奇异函数匹配法（也称为奇异函数平衡法）。其基本原理是根据微分方程左右两端的及其各阶导数应该平衡相等。前者适用于给定具体电路图的情形，后者虽然比较抽象,但却是普遍适用的一般方法。不过，在学习了拉普拉斯变换后，还会有更加简便的方法。 另外，可补充说明的是，对于LTI离散系统，可认为，是激励作用之前在因果系统中存储的数据，与激励信号无关，这组条件与微分方程的初始状态（状态）相对应；由这组数据与激励信号约束共同求得的，则类似于微分方程的初始条件（状态）。不过，这里根据初始状态求初始条件比较简单，直接根据差分方程进行迭代运算即可。9. LTI系统的单位冲激（序列）响应和阶跃响应以及它们之间的关系LTI连续系统在激励为单位冲激信号的作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，用表示。LTI连续系统在激励为单位阶跃信号的作用下产生的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用表示。同一LTI连续系统的阶跃响应与冲激响应的关系为 （6-17） （6-18）LTI离散系统在激励为单位序列的作用下产生的零状态响应，称为单位序列响应（或单位取样响应，单位样值响应），用表示。LTI离散系统在激励为单位阶跃序列的作用下产生的零状态响应，称为单位阶跃响应（或阶跃响应），用表示。同一LTI离散系统的阶跃响应与单位序列响应的关系为 （6-19） （6-20）10. LTI系统时域分析的卷积法及其应用（1）利用卷积积分求LTI连续系统的零状态响应的由来 （6-21） （2）利用卷积和求LTI离散系统的零状态响应的由来 （6-22）（3）完全表征了系统本身的特性，因此通常用如图6-1所示的框图来表示系统的零状态响应。图6-1 系统的框图表示根据卷积的性质，对于串并联系统，能方便地得到其等效系统，如图6-2所示，以两个子系统组成的串、并联系统为例：图6-2 串联系统、并联系统以及它们的等效系统这个结果很容易推广可知，N个子系统串联和并联的情况。6.2 精选例题例1 设一个LTI离散系统的初始状态不为零，当激励为时全响应为，当激励为时全响应为。（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为时，求系统的全响应。（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为时，求系统的全响应。（3）求该系统的单位序列响应。解：设系统的初始状态保持不变，当激励为时系统的零输入响应和零状态响应分别为、。依题意，有： 根据LTI系统的性质，当激励为时全响应为 联立式、，可解得：同样，根据LTI系统的基本性质，不难得到：（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为时，系统的全响应为：（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为时，系统的全响应为：（3）由于，所以该系统的单位序列响应为：例2 一个LTI连续系统对激励的零状态响应如例2图所示，求该系统的冲激响应。解：依题意，该系统的零状态响应为：由于没学过卷积逆运算，无法直接求得冲激响应，可以从卷积运算的性质下手，设法使激励信号中出现，这样就有可能求出。因为，不难发现：从而，一方面，根据卷积分配律：另一方面，根据卷积的微分性质：故系统的冲激响应为：其波形如例2解图所示。例3 求下面例3图（1）所示系统中的加权系数，以使得该系统与例3图（2）所示的系统等效。解：如果两个离散系统的单位序列响应相同，则这两个系统等效。因此，必须先求出每个系统的单位序列响应。根据例3图（2），可以得到该系统的差分方程为：设该系统初始状态为零，当激励为单位取样信号时，系统响应就是单位序列响应，上述差分方程可以写为：此差分方程的特征方程为：解之，得特征根：由于激励是单位取样信号，方程特解为零，故单位序列响应的形式与齐次解相同，即： 由于初始状态不难根据差分方程迭代求出的初始条件： 将它们代入单位序列响应，求得 解之，得 故： 对于例3图（1）所示系统的响应为： 因为系统的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的卷积，所以图（1）所示系统中的各加权系数正是该系统的单位序列响应在不同时刻的样值。这样要使图（1）和图（2）所示的两个系统等效，则图（1）所示系统的加权系数就应和式相同，即从上面分析可以看出，图（1）所示系统实际上是一个卷积器。利用这个结构可以模拟线性离散系统。6.3 习题精解1. 下列系统中为激励，为响应，为初始状态，试判断它们是否为线性系统。（1） （2）（3） （4），其中、为常数解：由于系统(1)不满足分解性；系统(2)不满足零输入线性；系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。对于系统(4)，如果直接观察 关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性。但考虑到令=0时，系统响应为常数，若把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的，故系统(4)是线性系统。2. 下列系统中和 分别表示激励和零状态响应，试判断它们是否为时不变系统。 (1) ，其中为常数 （2），其中为常数解： (1)已知，设 ，则其零状态响应为，显然 ，故该系统是时不变系统。 (2) 已知，设 ，则其零状态响应为，显然 ，故该系统是时不变系统。3. 下列系统中和 分别表示激励和零状态响应，试判断系统的因果性。 （1） （2） （3）（4） (5) （6）解：对于（1）（4），由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，因此都是因果系统。而对于（5），系统任一时刻的零状态响应都与该时刻以后的激励有关。响应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。因此，该系统是非因果的。（6）也是非因果的，因为如果，则有，可见在区间上，即零状态出现于激励之前，因而该系统是非因果的。4. 下列系统中和 分别表示激励和零状态响应，试判断系统的稳定性。（1） （2）解：（1）显然，无论激励是何种形式的序列，只要它是有界的，那么也是有界的，因果该系统是稳定的。（2）若，显然该激励是有界的，但，它随时间无限增长，故该系统是不稳定的。5. 已知系统方程及其对应的初始条件（状态），求系统的零输入响应。（1），给定：；（2），给定：；解：（1）特征方程为：，得特征根：，因而，可设零输入响应为：代入初始条件得：联立以上两式，解得 所以，系统的零输入响应为： （2） 特征方程为：，得特征根： 因而，可设零输入响应为： 代入初始条件得：联立以上两式，解得 所以，系统的零输入响应为： 6. 给定系统微分方程、初始状态（状态）以及激励信号分别为以下三种情况：（1），（2），（3），试判断系统在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其值，对（3）写出 和值。解:（1） 将代入方程，由于方程右边没有冲激信号及其导数，所以系统在起始点（从状态到状态）没有发生跳变。从而可知：（2）将代入方程，由于，即方程右边有冲激信号，所以系统在起始点（从状态到状态）会发生跳变。根据奇异函数匹配法的原理，可设：。（注意：这里不代表单位阶跃信号，只是借用它表示在点有一个单位的跳变量。）从而有：代入原方程可得：解得：故 （3）将代入方程，由于，即方程右边有冲激信号，所以系统在起始点（从状态到状态）会发生跳变。根据奇异函数匹配法的原理，可设：从而有：，代入原方程可得：解得：故： ，7. 给定系统微分方程，若激励信号和初始状态分别为，试求系统的全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。解：（1）求零输入响应：由已知条件有： 特征方程： 特征根为： ，故可设零输入响应（齐次解）为：代入初始条件，并求解得，故 （2）求零状态：依题意，可设齐次解 ，又由于时，易知是方程的一个特解。故零状态响应为：为了确定待定系数，将代入原方程，有：根据奇异函数匹配法，当时，可设：，则：，代入方程，平衡两边相同项的系数得故 ，代入表达式，可解得：，故 （3）全响应 ，其中：零输入响应为：零状态响应为：自由响应为：强迫响应为：8. 有一系统满足：当激励为时，全响应为；当激励为时，全响应为。（1）求该系统的零输入响应；（2）设系统的初始状态保持不变，求其对于激励为的全响应。 解：（1）设当激励为时，系统的零输入响应为、零状态响应为，则系统全响应为： 系统的初始状态保持不变，根据LTI系统的性质，当激励为时全响应为： 联立式、，可得： 又知，用经典法解式所示的方程，可得 从而，系统的零输入响应为：（2）由（1）不难看出，系统的单位冲激响应所以，根据卷积积分法，当激励为时，零状态响应为：又由于系统的初始状态保持不变，所以系统的零输入响应仍为，故系统的全响应为：9. 某LTI系统，无初始储能，在外界激励作用下的响应为，即 ，又已知： ，求该系统的单位冲激响应。解：依题意，对于初始状态为零的LTI系统，在激励作用下的响应为：则在激励作用下的响应为：由于，故有：又由已知条件：，从而得：故该系统的单位冲激响应为：10. 电路如题10图所示，时，开关位于“1”且已达到稳定状态，时刻，开关自“1”转至“2”。（1）试从物理概念判断、和、；（2）写出时间内描述系统的微分方程表示，求的全响应；（3）写出一个方程式，可在时间内描述系统，根据此式利用奇异函数匹配法判断时刻和时刻状态的变化，并与（1）的结果比较。题10图解：（1）时刻，开关位于“1”，电路处于稳定状态，不难得到：， ， 从而可知：时刻，开关自“1”转至“2”，电容电压和电感电流不会突变，故有：，而电感电压要发生变化，有KVL可知：从而可知： 综上所述，有： ，（2）时，由KVL可知：方程两边求导并将代入，可得：由于，且时，所以系统微分方程为：其特征方程为：，得特征根：显然0是方程的一个特解，故全响应可设为：代入初始条件，解得：代入上式，并化简，得系统的全响应为：（3）根据（2），不难得到，在时间内，系统微分方程为：其中， ，这可表示为代入系统微分方程，得：根据奇异函数匹配法的原理，可设：从而有：，代入原方程可得：解得：故： ，可见，与（1）的结果一致。11. 设某因果LTI系统输入、输出之间的关系可以用以下方程表示：其中，求该系统的单位冲激响应和阶跃响应。解：为了求，将已知条件及代入，并化简得：易知，用“经典法”可求得系统的单位冲激响应为：从而进一步可以得到系统的阶跃响应为：12. 如题12图所示电路，以为输入，为输出，试列出其微分方程，用时域分析法求出电路的冲激响应和阶跃响应。题12图解：依题意，不难得到电路的微分方程为：作用于系统时，对应得到的系统冲激响应，从而有：特征方程为：，得特征根：可设齐次解：初始状态：用奇异函数匹配法，设，则：代入方程，