量子力学力学量用算符表达ppt课件.pptx

第3章 力学量用算符表达 1 量子力学中的算符 表示对波函数 量子态 的一种运算 例如 讨论 量子力学中算符的一般性质 a 线性算符 3 1算符的运算规则 2 量子力学中的算符并不都是线性算符 例如复共轭 但刻画可观测量的算符都是线性算符 其中 是任一波函数 注意 其中和是任意两个波函数 与是两个任意常数 一般为复数 例如就是线性算符 3 b 算符之和 对于任意波函数 有 显然 算符的求和满足交换律和结合律 所以 两个线性算符之和仍为线性算符 4 c 算符之积 算符与之积 记为 定义为任意 一般说来 算符之积不满足交换律 即这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处 5 由下列关系式 概括 量子力学中最基本的对易关系 6 对易式 commutator 不难证明 对易式满足下列代数恒等式 定义 7 则量子力学中最基本的对易关系可以化成 角动量对易式 角动量算符 各分量表为 8 推出 由代数恒等式 不难证明 Levi Civita符号 是一个三阶反对称张量 定义如下 9 即角动量各分量的对易式为 还可以证明 10 在球坐标系中 各分量可表示成 则容易证明 定义 11 能够唯一地解出 则可以定义算符之逆为 并非所有的算符都有逆算符 例如投影算符就不存在逆 若算符之逆存在 则 d 逆算符 设 设与之逆均存在 则 12 e 算符的函数 设给定一函数 其各阶导数均存在 幂级数展开收敛 则可定义算符的函数为 例如 可定义 不难看出 算符的物理意义 是与体系沿方向平移有关的算符 13 令 则 是指对体系的全部空间坐标进行积分 是坐标空间体积元 定义一个量子体系的任意两个波函数 态 与的标积 14 式中与为任意常数 则可以证明 15 算符的转置算符定义为 f 转置算符 即 式中与是任意两个波函数 16 算符的复共轭算符定义为 注意 算符的共轭算符的表达式与表象有关 例如 在坐标表象中 g 复共轭算符与厄米共轭算符 通常算符的复共轭 可如下构成 即把的表达式中所有量换成其复共轭 而在动量表象中 17 算符之厄米共轭算符定义为 例如 可以证明 由此可得 18 满足下列关系的算符 两个厄米算符之和仍为厄米算符 但它们的积 一般不是厄米算符 除非 可对易 h 厄米算符 称为厄米算符 也称为自共轭算符 19 定理体系的任何状态下 其厄米算符的平均值必为实数 逆定理在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符 实验上可观测量 当然要求在任何态下平均值都是实数 因此 相应的算符必须是厄米算符 关于厄米算符的重要定理 证明如下 在态下厄米算符的平均值为 20 设为厄米算符 则在任意态之下 以上是关于算符的一般规律和定则 在接下来的一节中我们将要学习一类特殊的算符 厄米算符 及其本征值与本征函数 推论 21 涨落定义为 涨落 3 2厄米算符的本征值与本征函数 1 2 22 如果体系处于一种特殊的态 测量 所得结果是 唯一确定的 即涨落 则这种状态称为力学 量 的本征态 在本征态下 由式 2 可以看出 被积函数必须为零 或 23 一般 把常数记为 并把本征态记为 得到称为的一个本征值 为相应的本征态 上式即算符的本征方程 注意 求解时 作为力学量的本征态 还要满足物理上的一些要求 24 测量力学量时所有可能出现的值 都是相应的线性厄米算符的本征值 当体系处于的本征态时 则每次测量所得结果都是完全确定的 即 量子力学中的一个基本假定 推出 所以 在态下 设已归一化 定理1厄米算符的本征值必为实 25 厄米算符的本征函数的一个基本性质 定理2厄米算符的属于不同本征值的本征函数 彼此正交 证明如下 并设存在 对取复共轭 得到 上式右乘 积分 得到 由于 上式左边 因此得 如 则必有 26 简并问题 在能级简并的情况下 仅根据能量本征值并不能把各能量的简并态确定下来 设力学量的本征方程表为即属于本征值的本征态有个 则称本征值为重简并 27 出现简并时 简并态的选择是不唯一的 而且也不一定彼此正交 但总可以把它们适当线性叠加 使之彼此正交 在线性代数中 通常采用Schmidt正交化程序来进行正交化 令因为所以只要选择 使 即可得证 证明如下 28 在常见问题中 当出现简并时 往往是用 除之外的 其他力学量的本征值来对简并态进行分类 从而把它的简并态确定下来 两个力学量是否可以有共同本征态 或者说是否可以同时测定 此时 正交性问题将自动解决 这就涉及两个或多个力学量的共同本征态问题 这将是下一节不确定度关系要讨论的问题 29 引入 下面我们普遍地分析此问题 当体系处于力学量的本征态时 对其测量 可得一个确定值 而不会出现涨落 但在其本征态下去测量另一个力学量时 却不一定得到一个确定值 分析下列积分不等式其中 为体系的任意一个波函数 为任意实参数 3 3 1不确定度关系的严格证明 设有两个任意的力学量和 30 引进厄米算符 则 因为与为厄米算符 所以 31 即 让 则 1 式仍成立 再考虑到就可得出 32 上式就是任意两个力学量与在任意量子态下的涨落必须满足的关系式 即Heisenberg的不确定度关系 uncertaintyrelation 的普遍表达式 33 能是例外 或者说他们不能有共同本征态 以找出它们的共同本征态 由 2 式可以看出 若两个力学量与不 对易 则一般说来与不能同时为零 即 与不能同时测定 但的特殊态可 反之 若两个厄米算符与对易 则可以 找出这样的态 使与同时满足 即可 34 坐标的共同本征态 即函数 相应本征值为 例如 35 采用球坐标 角动量的平方算符表示为 3 3 2的共同本征态 球谐函数 由于角动量的三个分量不对易 一般无共同本征态 分量 例如 的共同本征态 36 考虑到的本征函数可以同时也取为的本征态 其中 是的本征值 无量纲 待定 并代入本征方程 37 化简本征方程 得 或 这就是连带Legendre方程 38 在区域中 微分方程有两个正则奇点 其余各点均为常点 时 方程有一个多项式解 另一解为无穷级数 即连带Legendre多项式 可以证明 只当 它在 区域中是有界的 是物理上可接受的解 39 利用正交归一性公式 满足 40 所以 的正交归一的共同本征函数表示为 为球谐函数 它们满足 41 在上面的式子中 和的本征值都是量子化的 对于给定 的本征函数是不确定的 因为共有个简并态 就是用的本征值来确定这些简并态 42 3 3 3对易力学量完全集 CSCO 它们的共同本征态记为 设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符 表示一组完备的量子数 设给定一组量子数 之后 就能够完全确定体系的唯一 一个可能状态 则我们称 构成体系的一组对易可 观测量完全集 completesetofcommutingObservables 简记为CSCO 在中文教材中 习惯称为对易力学量完全集 或简称为力学量完全集 对易力学量完全集的概念与体系的一个量子态的制备密切相关 43 按照态叠加原理 体系的任何一个状态 均可用 来展开 44 H为守恒量 在此情况下 如对易力学量完全集中包含 有体系的Hamilton量 则完全集中各力学量都是守恒量 45 关于CSCO 再做几点说明 46 为复杂的问题 李政道曾经给出关于本征态的完备性的如 下重要的定理 47 这里有两点值得提到 48 3 3 4量子力学中力学量用厄米算符表达 与Schr dinger方程是量子力学的一个基本假定一样 量子体系的可观测量 力学量 用一个线性厄米算符来 描述 也是量子力学的一个基本假定 它们的正确性应 该由实验来判定 49 50 反之 若 则一般说来 力学量A与B不能 同时具有确定的观测值 51 3 4 1连续谱本征函数是不能归一化的 在量子力学中 坐标和动量的取值是连续变化的 角动量的取值是离散的 而能量的取值则视边条件而定 例如 52 如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度大得多 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化极微 则不妨用平面波来近似描述其状态 53 可以引用数学上的Dirac的 为方便地处理连续谱本征函数的 归一化 我们 函数 3 4 2函数 函数的定义 54 55 平面波的 归一化 问题 还可以采用数学上传统的做法 即先让粒子局限于有限空间中运动 最后才让 动量本征态为在周期条件下 3 4 3箱归一化 此时 为了保证动量算符为厄米算符 就要求波函数满足周期性边条件 56 同样 不能归一化的坐标本征态也可类似处理 因此 若取动量本征态为则 这样 就用函数的形式把平面波的 归一化 表示出来了 57 由周期条件 得 58 此时 与相应的动量本征态取为 利用正交归一化条件 利用这一组正交归一完备的函数 可以构成如下函数 59 现在让即动量的可能取值趋于连续变化 于是 此时 可以把 而或 60 在处理具体问题时 如要避免计算过程中出现的平面波 归一化 困难 则可以用箱归一化波函数代替不能归一化的 在计算的最后结果才让 正交完备的归一化波函数为 结论 则函数可如下构成 三维情况 61 上式表明 相空间一个体积元相当于有一个量子态 而 62 3 4 4力学量完全集 定义 设给定之后就能够确定体系的一个可能状态 则称构成体系的一组力学量完全集 63 按照态叠加原理 体系的任何一个状态均可用展开 这里假定的本征值是离散的 的正交归一性 的归一化条件 64 例如 一维谐振子 Hamilton量本身就构成力学量完全集 也是守恒量完全集 对于一维自由粒子由于能量本征态有简并 并不构成力学量完全集 但把空间反射考虑进去 力学量完全集可以选为 对于一维粒子 动量就构成力学量完全集与此类似 坐标也可以构成力学量完全集 65 注意 用一组力学量完全集的共同本征函数来展开体系的任意波函数 在数学上涉及完备性这样一个颇为复杂的问题 66 经验 如力学量完全集中包含有体系的Hamilton量 而本征值又有下界 则可以证明 这一组力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空间的一组完备的基矢 即体系的任何一个态均可用它们展开 自然界中实际的物理体系的的本征值都有下界 因此 体系的任何态总可以用包含在内的一组力