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振动和波动【知识梳理】前面我们已经分别讨论了受力平衡的物体（静止或做匀速运动），受恒力作用的物体（做匀变速直线运动或抛体运动），受到一个和运动方向垂直的大小不变的力的物体（做圆周运动）现在我们来讨论一种更加复杂的、受力大小和方向每时每刻都在变化的物体，即做简谐振动的物体一、简谐运动1简谐运动的方程如果一个物体受到的恢复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反，即满足= k的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐运动根据牛顿第二定律，物体的加速度因此，如果一个物体的加速度和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反，那么这个物体做的就是简谐运动让我们来分析一个做匀速圆周运动的物体在一直径上的投影的运动当t = 0时刻，一个物体m从x轴上的A点开始做匀速圆周运动，角速度为经过时间t ，物体m到了B位置（图1）此时它的向心加速度在x方向上的投影（即它在x轴上的投影的加速度）的大小为ax = 2Rcos t 图1它在x轴上的投影离O点的距离是x = Rcos t 即 ax = 2x 因为的方向和的方向相反，所以有=2式中2是一个定值，因此m在x轴上的投影做的是简谐运动，叫做简谐运动的圆频率从图1中同样可以看出，物体在x轴上的投影的速度=Rsin t 、三式叫做简谐运动的方程不难看出，如果t = 0时，物体和O点的连线与x轴成0角，那么振动方程成为= Rcos ( t + 0 ) =Rsin ( t + 0 ) =2Rcos ( t + 0 ) 式中的R是简谐运动的振幅，是简谐运动的圆频率，0叫初相位，很明显，简谐运动的频率 f = / 2 因为=2，即= 2m将此式与简谐运动的定义= k比较，可知 = 式中k是和的比例系数，m是振子的质量图2让我们来看这样一个问题：如图2所示，有一个弹簧振子质量为m ，放在光滑水平面上，平衡位置为O点，其圆频率为0.5 / s 另一个质量也是m的滑块由h = 0.20 m高的A点由静止滑下，质点滑到曲面底部B需时tAB = 1.5 s ，OB间距l = 6.0 m 现将弹簧振子向左压缩到x0 = 2.0 m处释放，同时释放A处的滑块，两个物体碰撞后粘在一起若从碰撞时开始计时，求系统的振动方程（不计摩擦）从释放两个物体时开始计时，到t1时刻两物体相撞，那么根据题意可得（振动方程向左为正）v2 ( t11.5 ) + 2 2cos 1t1 = 8 根据机械能守恒可得v2 = = m / s = 2.0 m / s 代入方程，有 2t1 2cos ( 0.5 t1) = 9 这个方程不易求解，可以用作图法来解（这是一种有效而有普遍意义的方法）作出 两条曲线（图3）交于t1 = 4.8 s处，即t1 = 4.8 s为方程的解由x =2cos ( 0.5 t1) = 0.61 m可知，碰撞发生在O点左边0.61 m处；根据v1 = 20.5 sin ( 0.5 t1) m / s = 3.0 m / s ，可知发生碰撞前振子的速度为3.0 m / s ，方向向右图3根据动量守恒定律（忽略碰撞过程中弹簧的作用力）3m2m =2mv ，可得 v = 0.5 m / s 根据振动方程= Acos ( t + 0 )，= Asin ( t + 0 ) 令t = 0 ，便有= Acos0 = Asin 0 将、式平方相加，可得A = ，可得tan 0 = v / x 碰撞前的弹簧振子 = = 0.5 rad / s 碰撞后的弹簧振子 = = = rad / s 根据碰撞后的x 、v 、，可知碰撞后A = = m = 0.76 m ，0 = tan1( ) = tan1( ) rad = 0.64 rad 所以碰撞后的振动方程为（向左为正）= 0.76 cos ( 1.11t + 0.64 ) m ， =0.84sin ( 1.11t + 0.64 ) m / s ，=0.93cos ( 1.11t + 0.64 ) m / s22、简谐运动的能量一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即= mv2 + kx2 = kA2简谐运动的动能EK 、势能EP和总能量随位移x变化的图线如图4所示很明显，在振动过程中，系统的总能量是守恒的在上面讨论的一个问题中，两物体碰撞结束后的能量为= kx2 + (2m)v2 = ( 0.25 20.612 + 20.52 ) = 0.71 m 在位移最大处的能量为 = kx2max = 0.25 2m0.762 = 0.71 m 在平衡位置时的能量为 = (2m)v2 max = 2m0.842 = 0.71 m 有= E = E 的结论是必然的3简谐运动的周期如果能证明一个物体受的合外力= k那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期T = = 2 式中的m是振动物体的质量有一粗细均匀的U形管中装有一定量的水，水柱的总长度为l 受扰动后水在管内振动，如果忽略管壁对水运动的阻力，求振动的周期考查右管水面升高了x的某一瞬间：左右两管水面的高度差是2x（图5），因此使水柱运动的合外力= g2xS = （比例系数k = ）因为和x成正比，所以水柱做简谐运动，振动周期T = 2 = 2 这个问题也可以从能量的角度来考虑：当系统处于平衡位置时势能最低，可设为0如果系统偏离平衡位置x时，系统具有的势能为（其中k 相当于弹簧的劲度系数），那么系统受的回复力必然是弹性回复力，即系统做简谐运动振动的周期T = 2 当右边的水面升高x时，系统增加的势能EP = gxSx = x2，即 k = 所以 T = 2 = 2 二、弹簧振子1恒力对弹簧振子的作用比较一个在光滑水平面上振动的和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m和k都相同（图6），则它们的振动周期T是相同的这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长l0 ，振子质量为m =1.0 kg ，电梯静止时弹簧伸长l = 0.10 m 从t = 0时开始电梯以的加速度加速下降t = s ，然后又以的加速度减速下降直至停止试画出弹簧的伸长l随时间t变化的图线由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子受到的惯性力f在匀变速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期振动周期T = = 因为k = ，所以T = 2= 0.2 (s) 因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为n = = = 5（次）当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在l 1= = 同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在l 2= = 在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是弹簧的伸长随时间变化的规律如图7所示读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么l t图线将是怎样的？2多弹簧系统设有几个劲度系数分别为k 1 、k 2 、 、k n的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组当这个新弹簧组在F力作用下伸长时，各弹簧的伸长为xi ，那么总伸长x =各弹簧受的拉力是F，所以有xi = 故 x =根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数k = 即得 =如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的要使各弹簧都伸长x，需要的外力F =根据劲度系数的义，弹簧组的劲度系数k = =导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题 中要灵活地应用如图8所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同由此可见图8中两根弹簧是串联当m向下偏离平衡位置x时，弹簧组伸长了2x，增加的弹力为F = 2xk = 2x m受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略）= 2 2x = x所以m的振动周期T = 2= 再看如图9所示的装置当弹簧1由平衡状态伸长l1时，弹簧2由平衡位置伸长了l2，那么由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）k1l1a = k2l2b，l2= l1由于弹簧2的伸长，使弹簧1悬点下降了x =l2 = l1因此物体m总的由平衡位置下降了x1 =l1+x = ( + 1 )l1此时m受的合外力= k1l1= x1系统等效的劲度系数就是，所以系统振动的周期T = 23多振子系统如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般是要找振动系统的等效质量如图10所示的振动系统，如果弹簧的倔强系数为k ，静止时弹簧伸长x0 ，那么当弹簧再伸长x时，分别对m1和m2用牛顿第二定律k (x0 +x ) + m1g T = m1a 2Tm2g = m2() 由、二式消去T，可有2k (x0 +x ) + 2m1g m2g = a ( 2m1+ ) 因为在系统平衡时有2kx0 = m2g 2m1g 将式的x0代入式，可得kx = a ( m1+ )可见系统的等效质量M = m1+ ，因此振动周期T = 2因为a = x ，所以a = 由于m2向下加速靠的是重力，所以须有g，即g对m2的振幅的限制A2 4悬点不固定的弹簧振子如果弹簧振子的悬点是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力如图11所示的振动系统，如果弹簧的倔强系数为k = ，mA = 2m ，mB = mC =m ，弹簧原长l使弹簧保持原长由静止释放，C相对B的运动规律是怎样的呢？【解答】设A、B相对地的加速度大小为a ，C相对B的加速大小为ar ，分别对A、B、C三个物体用牛顿第二定律（A、B以地为参照物，C以B为参照物）F = mg （4）由以上四式可解得mar = 由此可见C相对于B做简谐振动，规律为x = Asin ( t + x )，vr = Acos ( t + ) 其中 = ，当t = 0时，x0= l0 ，vr = 0，因此A = l ， = 振动方程为x = lsin (t )三、单摆单摆的运动在摆角小于5时可近似地看作是一个简谐运动，振动的周期为T = 2在一些“异型单摆”中，l和g的含意及值会发生变化1等效重力加速度g 如果在一节车厢中悬挂一个摆长为l的单摆，车厢以加速度a在水平地面上运动（图12）由于小球m相对车厢受到一个惯性力f = ma ，所以它可以“平衡”在OA位置，tan = ，此单摆可以在车厢中以OA为中心做简谐运动，但因为它受到的恒力是 =+所以它的周期T =2其中g = 2等效摆长有些摆的悬点不易确定，因此需要寻找等效的摆长如图13所示的三角架，可绕着AB边转动，边长都是L，三角架重量忽略，AB边和竖直方向成角在这个摆中，g和l同时发生了异化当m做小角度摆动时，实际上是围绕AB的中点D运动，所以等效摆长应是l = Lcos30= 正因为m围绕D点摆动，所以它受的有效的恒力是mg = F1 = mg sin ，因此此异型摆的周期T =2=2再看如图14所示的装置，支架光滑，顶角为 ，求小球在支架平面内左、右振动时的等效摆长当小球向左偏时（图15），小球受到重力和两根绳子的拉力大小相同因为一根绳上张力相同，所以角A和角B的平分线OA和OB应垂直于支架（O为三角形ABC的内心），AC和BC对小球的合力的方向沿CO 我们可以用数学方法证明C、O、O三点共线，即C小球受两绳的合力方向每时每刻都过O点这样即可认为O点是等效悬点，CO是等效摆长3悬点不固定的单摆一个质量为M的车厢放在水平光滑地面上，厢中悬有一个摆长为l 、摆球质量为m的单摆很明显，当摆球来回摆动时，车厢也将做往复运动这是一种特殊的摆当摆线与竖直方向的夹角为时，摆球受到重力mg 、摆线拉力T和惯性力maM （图16）分析摆球：T = mgcos maMsin （忽略摆球向心力） 回复力T = mg sin + maM cos 分析车厢：T sin = MaM 因为很小，所以可以认为sin = ，sin 2 = 0这样由、式可以得到aM = g 代入得F =mg () 因为摆球偏竖直线的距离x =l ，所以F = x 因此摆球做的是简谐运动，振动周期T =2由以上表达式可以看出，当M m 时，T = 2这是不难想象的，因为此时M基本不动一般情况下，T 2四、机械波1波动方程如果有一列波沿x方向传播，振源的振动方程为 y = Acos t ，波的传播速度为v ，那么在离振源x远处一个质点的振动方程便是y = Acos ( t ) 在此方程中有两个自变量：t 和 x 当 t 不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程2波的干涉（1）波的叠加几列波在同一媒质中传播时，在它们相遇的区域内，每列波都将保持各自原有的频率、波长和传播方向，并不相互干扰波的这种性质叫做波的独立性因此在几列波重叠的区域内，每个媒质质点都将同时参与几列波引起的振动，每个质点的振动都是由几个分振动合成的故在任一时刻，每个质点的位移都是几列波各自的分振动引起的位移的矢量和这种现象称为波的叠加（2）波的干涉两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的波叫做相干波两列相干波传到同一个区域，可使某些位置的质点振动加强，某些位置的质点振动减弱，而且振动加强和振动减弱的区域相互间隔，这种现象叫做波的干涉设有S1和S2两个波源（图17），振动方程分别为y 1 = A1cost ，y 2 = A2cost如果P点到S1、S2的距离分别为r1和r2，那么两列波传播到P点时引起的两个分振动分别为y1 = A1cos ( t ) ，y 2 = A2cos ( t ) 根据波的叠加原理，P点处质点的振动即是上述两个分振动的合振动，合振动的振幅取决于两个分振动的相差 = ( t ) ( t )= ( r2 r1)= ( r2 r1)由此可见，是由S1、S2到P点的距离差( r2 r1)决定的当r2 r1= n 时（n = 0，1，2，）两列波互相加强，P点的振幅为A1+ A2；当r2 r1= ( 2n + 1 ) 时（n = 0，1，2，）两列波相互减弱，P点振幅为| A1A2 |3多普勒效应当波源或者接收者相对媒质运动时，接收者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应下面分别加以说明：（1）波源S不动，接收者R以速度v2向着S运动设当接收者R位于A处时开始计时，经过时间t后，R向着S运动了v2t如果波速为v，则波背着S传播了vt（图18）对于R来说，通过他的波的个数（即R感觉到的波的频率）为f = = = = ( 1 + ) f 上式表明，当R向着S运动时，R接收的频率f 为原来频率f的( 1 + )倍，f f ；如果R远离S运动，则v2可取负值，f f （2）接收者R不动，波源S以速度v1向着R运动因为波的传播速度与波源的运动无关，而S每发出一个波后向右移动了v1T ，所以对R来说，波长缩短了v1T（图19），即 = v1T 在t时间内，通过R向右传播的距离仍为vt ，但由于波长的缩短，R感觉到波的频率为f = = = = ( ) f 上式表明，当S向着R运动时，R接收的频率f 为原来频率f的倍，f f ；如果S远离R运动，则v1可取负值，f f 如果一个观察者在铁路近旁，当火车迎面驶来时，他听到的汽笛声频率为f 1 = 440 Hz ，当火车驶过他身旁后，他听到的汽笛声的频率f 2降为392 Hz 如果知道大气中声速约为330 m / s ，即可求出火车的速度u 当火车驶近时f 1 = f 当火车远离时f 2 = f 可解得u = = m / s= 19 m / s 【测试题】1广阔的海水中浮着一座金字塔形（正四棱锥）的冰山，平衡时塔顶离水面的高度为h ，若冰的密度为1 ，海水的密度为2 ，求冰山做竖直方向的小振幅振动的周期2在自然界，有些湖泊会产生一种叫做“湖震”的奇异现象，发生这种现象的湖泊通常是长而浅的为建立此模型，如图20所示选取一个长为L ，宽为d ，水深为h的容器当它受到扰动后，水将整体在L方向上发生震荡现假设水面始终为一个平面，求其振动周期x3在水平光滑细直角槽中嵌入两个质量相同的小物体A和B，它们的上表面用长为l 、质量可忽略的刚性细杆铰接处，铰链在A、B滑动时可自由转动（图21）已知当细杆与x轴的夹角为0时，A有一个沿负x方向的速度vAO （1）试证明细杆的中点C将做圆周运动；（2）试证明A、B各自做简谐运动，且用l 、0 、vAO来表述周期T 4一个质量为m2的光滑滑轮由劲度系数为k的轻弹簧吊在天花板上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m1的重物，另一端竖直固定在地板上（图22）试证明重物沿竖直方向的振动是简谐运动，并求其周期5如图23所示，由质量相同的A、B两小球组成的弹簧振子用细线悬挂起来，悬点离地面1 m 静止时弹簧伸长3 c