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第七章向量代数与空间解析几何 第一节向量代数 第二节空间的平面和直线 第三节几种二次曲面和空间曲线简介 二 向量的概念 三 向量的线性运算 一 空间直角坐标系 四 向量的坐标表示 五 向量的模 方向余弦的坐标表示 1向量代数 六 向量的三种乘积运算 一 空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴 x轴 y轴 z轴 过空间一定点O 坐标面 卦限 八个 zox面 1 空间直角坐标系的基本概念 在直角坐标系下 坐标轴上的点P Q R 坐标面上的点A B C 点M 特殊点的坐标 有序数组 称为点M的坐标 原点O 0 0 0 坐标轴 坐标面 表示法 向量的模 向量的大小或长度 二 向量的概念 向量 或矢量 既有大小 又有方向的量称为向量 向径 矢径 自由向量 与起点无关的向量 起点为原点的向量 单位向量 模为1的向量 零向量 模为0的向量 有向线段M1M2 或a 规定 零向量与任何向量平行 记作 因平行向量可平移到同一直线上 故两向量平行又称 两向量共线 若k 3 个向量经平移可移到同一平面上 则称此k 个向量共面 三 向量的线性运算 1 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 运算规律 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 2 向量的减法 三角不等式 3 向量与数的乘法 是一个数 规定 可见 总之 运算律 结合律 分配律 因此 例1 设a为非零向量 则 为唯一实数 取 且 再证数 的唯一性 则 取正号 反向时取负号 则 四 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下 设点M 则 沿三个坐标轴方向的分向量 的坐标为 设 则 平行向量对应坐标成比例 例2 已知两点 在AB直线上求一点M 使 解 设M的坐标为 如图所示 及实数 得 即 说明 由 得定比分点公式 点M为AB的中点 于是得 中点公式 五 向量的模 方向余弦的坐标表示式 1 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式 对两点 与 例3 在z轴上求与点 等距 解 设该点为 解得 故所求点为 及 思考 1 如何求在xoy面上与A B等距离之点的轨迹方程 2 如何求在空间与A B等距离之点的轨迹方程 离的点 提示 1 设动点为 利用 得 2 设动点为 利用 得 且 2 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点O 称 AOB 0 为向量 的夹角 类似可定义向量与轴 轴与轴的夹角 与三坐标轴的夹角 为其方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 方向余弦的性质 例4 已知两点 和 的模 方向余弦和方向角 解 计算向量 例5 设点A位于第一卦限 解 已知 角依次为 求点A的坐标 则 因点A
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