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1 1正弦定理和余弦定理 第一章 第1课时正弦定理 富顺一中李其凤 珠穆朗玛峰的 身高 珠穆朗玛峰是世界最高峰 作为世界群山之首 屹立在欧亚板块和印度板块碰撞造就的喜马拉雅山脉群峰之中 200年来 人们关于珠峰高度的争论从未停止 事实上 人类对珠峰的认识就是从测量其高度开始的 珠峰的历史从某种意义上来说就是一部测绘史 2005年 我国科学工作者历经艰难险阻 成功改写了世界最高峰 珠穆朗玛峰的 身高 8844 43m 同时宣布1975年公布的珠峰高程数据8848 13m停止使用 权威专家认为 这是迄今国内乃至国际上历次珠峰高程测量中最为精确的数据 你知道吗 在每次测量珠峰过程中 科学工作者们都用到一种重要的理论知识 解三角形 在数学发展历史上 解三角形理论是受到天文测量 航海测量和其他地理测量等实践活动的推动不断发展起来的 并被用于解决许多测量问题 在人类探索自然的实践过程中起到了重要作用 本章我们就来探索解三角形的奥秘 问题提出 知识探究 一 正弦定理的形成 思考2 将上述关系变式 边长c有哪几种表示形式 由此可得什么结论 思考3 可变形为 在锐角 ABC中 该等式是否成立 为什么 思考4 若 C为钝角 是否成立 若 A为钝角 是否成立 若 B为钝角 是否成立 思考5 在任意三角形中 同理可得 因此有该连等式称为正弦定理 如何用文字语言描述正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦之比相等 知识探究 二 正弦定理的向量证明 思考2 若 A为锐角 过点A作单位向量i 使 则向量i与 的夹角分别是什么 思考3 由可得什么结论 思考4 若 A为钝角 上述推理过程有什么变化 所得结论如何 思考5 若证明 应如何作单位向量i 边 正弦 比 角 几个元素 其他元素 在 ABC中 已知A 45 B 30 a 2 解此三角形 分析 利用A B C 180 及正弦定理可解 解析 根据三角形内角和定理知 C 180 A B 180 45 30 105 根据正弦定理 得 已知两角和任一边 解三角形 点评 已知三角形的两角和任意一边 这个三角形是确定的 由三角形内角和定理 可以计算出三角形的另一角 并由正弦定理计算出三角形的另两边 答案 2 在 ABC中 解三角形 1 b 4 c 8 B 30 分析 已知三角形的两边和其中一边的对角 解三角形会出现一解 两解 无解的情况 已知两边和其中一边的对角 解三角形 点评 已知三角形两边及一边的对角解三角形时 利用正弦定理求解 但要注意判定解的情况 要注意讨
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