《杨辉三角》导学案2.docx

杨辉三角导学案2【课标要求】1了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题2了解二项式系数的性质并能简单应用3掌握“赋值法”并会灵活应用【核心扫描】1杨辉三角的特点(难点)2二项式系数性质的应用(重点)3“赋值法”的应用(易错点)自学导引1杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示不是二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n1行对应数值相等2二项式系数的性质对称性在(ab)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC_增减性与最大值增减性：当k时，二项式系数是逐渐增大的；当k时，二项式系数是逐渐减小的最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cn最大，当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值各二项式系数的和CCCC2n，CCCCCC2n1试一试：令f(k)C，k0,1,2，n，则直线k将函数f(k)的图象分成对称的两部分，即直线k是图象的对称轴，由此我们得到结论：当k时，C最大，这个结论正确吗？提示不正确当n是偶数时，C最大；当n是奇数时，CnCn最大名师点睛1对二项式系数性质的深层理解(1)对称性：源于组合数的性质“CC”，基础是CC1，然后从左右向中间靠拢，便有CC，CC，(2)最大值：当n是偶数时，(ab)n的展开式共n1项，n1是奇数，这时展开式的形式是前项 第+1项 后项中间一项是第1项，它的二项式系数是Cn，它是所有二项式系数中的最大值；当n是奇数时，(ab)n的展开式共有n1项，n1是偶数，这时展开式的形式是前项 第项 第项 后项中间两项是第，项，它们的二项式系数是Cn、Cn，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值(3)各二项式系数和：CCCC2n源于(ab)nCanCan1bCb n中令a1，b1，即得到CCCC2n.2赋值法的应用求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，如：求(ax)na0a1xa2x2anxn展开式中各项系数和，可令x1，即得各项系数和a0a1a2an.若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x1，x1，两等式相加减即可求出结果.题型一与杨辉三角有关的问题【例1】 如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S19的值思路探索 本题关键是观察数列的特征，数列的每一项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式的二项式系数，再利用组合数求解解由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCC)C274.规律方法解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察【变式1】 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第15个数的比为23.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051 解析设第n行从左至右第14与第15个数之比为23，则CC23.3C2C，即，得：，n34.答案34题型二二项展开式的系数和问题【例2】 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求下列各式的值(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.思路探索 本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，赋值法在求二项式系数中的应用以及分析问题、解决问题的能力可用赋值法解决各项系数和或部分项系数和，一般令x0或x1解决问题解令x1，则a0a1a2a3a71.令x1，则a0a1a2a737.(1)令x0，得a01，代入中得：a1a2a3a72.(2)由得2a12a32a52a7137，a1a3a5a71 094.(3)由得2a02a22a42a6137，a0a2a4a61 093.(4)法一(12x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.法二|a0|a1|a2|a7|是(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a7|372 187.规律方法赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项一般地，对于多项式f(x)a0a1xa2x2anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为f(1)f(1)，偶次项系数和为f(1)f(1)，a0f(0)【变式2】 设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1a2a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2.解(1)由(2x)100展开式中的常数项为C2100，即a02100.或令x0，则展开式可化为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100，与联立相减可得a1a3a99.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)100(2)1001.题型三求二项展开式中的最大项问题【例3】 已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项审题指导 (1)(2)规范解答 (1)令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2分)(2n31)(2n32)0，2n31(舍)，或2n32，n5.(4分)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(6分)(2)展开式的通项公式为Tr1C3rx(52r)假设Tr1项系数最大，则有(8分)(10分)r，rN，r4.展开式中系数最大的项为T5C34x405x.(12分)【题后反思】 (1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a、bR)展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第r1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大的项【变式3】 在(3x2y)20的展开式中，求(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项解(1)二项式系数最大的项是第11项，T11C310(2)10x10y10C610x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是r1项，于是化简得解得7r8(rN)，所以r8，即T9C31228x12y8是系数绝对值最大的项(3)由于系数为正的项为y的偶次方项，故可设第2r1项系数最大，于是化简得解之得r5，即2519项系数最大T9C31228x12y8.误区警示混淆“项的系数”与“二项式系数”错用二项式系数性质致错【示例】 求(12x)20的展开式中x的奇次方项和x的偶次方项的系数和各是多少？错解1 二项展开式中奇次方项系数和偶次方项的系数和相同，奇次方项和偶次方项的系数和各为219.错解2 由二项展开式知x的奇次方项系数和为C2C23C25C219，x的偶次方项的系数和为CC22C2