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高等数学 连续函数的运算与性质 2020 2 12 函数与极限 2 26 一 连续函数的和 差 积 商的连续性 定理1 例如 2020 2 12 函数与极限 3 26 二 反函数与复合函数的连续性 定理2 例如 2020 2 12 函数与极限 4 26 定理3 证 反三角函数在其定义域内皆连续 2020 2 12 函数与极限 5 26 将上两步合起来 2020 2 12 函数与极限 6 26 意义 1 极限符号可以与函数符号互换 例1 解 2020 2 12 函数与极限 7 26 例2 解 同理可得 2020 2 12 函数与极限 8 26 定理4 注意定理4是定理3的特殊情况 例如 2020 2 12 函数与极限 9 26 三 初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的 2020 2 12 函数与极限 10 26 定理5基本初等函数在定义域内是连续的 均在其定义域内连续 定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 2020 2 12 函数与极限 11 26 初等函数仅在其定义区间内连续 在其定义域内不一定连续 例如 这些孤立点的邻域内没有定义 在0点的邻域内没有定义 注意1 注意2初等函数求极限的方法代入法 2020 2 12 函数与极限 12 26 例3 例4 解 解 2020 2 12 函数与极限 13 26 四 最大值和最小值定理 定义 例如 函数在闭区间上连续的定义 2020 2 12 函数与极限 14 26 定理7 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值 2020 2 12 函数与极限 15 26 注意 1 若区间是开区间 定理不一定成立 2 若区间内有间断点 定理不一定成立 2020 2 12 函数与极限 16 26 五 介值定理 定义 2020 2 12 函数与极限 17 26 几何解释 2020 2 12 函数与极限 18 26 几何解释 证 由零点定理 2020 2 12 函数与极限 19 26 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值 例5 证 由零点定理 2020 2 12 函数与极限 20 26 例6 证 由零点定理 2020 2 12 函数与极限 21 26 六 小结 1 连续函数的和差积商的连续性 复合函数的连续性 初等函数的连续性 定义区间与定义域的区别 求极限的又一种方法 两个定理 两点意义 反函数的连续性 有界性定理 最值定理 介值定理 根的存在性定理 注意1 闭区间 2 连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立 2 四个定理 2020 2 12 函数与极限 22 26 思考题 2020 2 12 函数与极限 23 26 思考题解答 是它的可去间断点 1 2020 2 12 函数与极限 24 26 不正确 例函数 2 20
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