2015年高考数学全国卷1(理)试卷解析版.pdf

FunshineMFunshineMathsaths 峰行数学峰行数学 资料整理资料整理 sh maths 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷数学试卷 理科理科 一一 选择题选择题 本大题满分本大题满分 60 分分 共共 12 小题小题 每小题每小题 5 分分 1 设复数z满足1 1 z i z 则 z A 1 B 2 C 3 D 2 解析解析 1 1 1 1 i ziizziz i 答案答案 A 2 sin20 cos10cos160 sin10 A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 解析解析 sin20 cos10cos160 sin10sin20 cos10cos20 sin10sin30 答案答案 D 3 设命题P n N 2 2nn 则P 为 A n N 2 2nn B n N 2 2nn C n N 2 2nn D n N 2 2nn 解析解析 考查命题的否定 答案答案 C 4 投篮测试中 每人投 3 次 至少投中 2 次才能通过测试 已知某同学每次投篮投中的概 率为0 6 且各次投篮是否投中相互独立 则该同学通过测试的概率为 A 0 648 B 0 432 C 0 36 D 0 312 解析解析 至少投中 2 次 包括 投中 2 次 和 投中 3 次 两种情况 投中 2 次的概率为 22 3 0 60 4C 投中 3 次的概率为 3 0 6 223 3 0 60 40 60 648C 答案答案 A 5 已知 00 M xy是双曲线 2 2 1 2 x Cy 上的一点 1 F 2 F是C上的两个焦点 若 12 0MF MF 则 0 y的取值范围是 A 33 33 B 33 66 C 2 2 2 2 33 D 2 3 2 3 33 解析解析 先计算 12 0MF MF 时的 0 y 根据焦点三角形面积公式 2 0 cot451Sbcy 3c 0 3 3 y 答案答案 A FunshineMFunshineMathsaths 峰行数学峰行数学 资料整理资料整理 sh maths 6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书 中有如下问题 今有委米依垣内角 下周八尺 高五 尺 问积及米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放 米 如图 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆底部的 弧长为 8 尺 米堆的高为 5 尺 问米堆的体积和堆放 的米各为多少 已知 1 斛米的体积约为 1 62 立方尺 圆周率约为 3 估算出堆放的米约有 A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 解析解析 316 8 23 lrrr 2 11 116320 3 5 33 439 VSh 立方尺 答案答案 B 7 设D为 ABC所在平面内一点 3BCCD 则 A 14 33 ADABAC B 14 33 ADABAC C 41 33 ADABAC D 41 33 ADABAC 解析解析 1114 3333 ADACCDACBCACACABABAC 答案答案 A 8 函数 cos f xx 的部分图像如图所示 则 f x的单调递减区间为 A 13 44 kk k Z B 13 2 2 44 kk k Z C 13 44 kk k Z D 13 2 2 44 kk k Z 解析解析 根据图像所示 51 1 244 T 2T 即选 D 答案答案 D 9 执行下面的程序框图 如果输入的0 01t 则输出的n A 5 B 6 C 7 D 8 解析解析 根据题意 11111111 10 01 248163264128128 有 7 次循环运算 答案答案 C FunshineMFunshineMathsaths 峰行数学峰行数学 资料整理资料整理 sh maths 10 25 xxy 的展开式中 52 x y的系数为 A 10 B 20 C 30 D 60 解析解析 25 15 rrr r TCxxy 2r 22322332 355 1 TCxxyC xxy 即 需要在 3 1 x 中求出 2 x的系数 显然为 3 52 x y的系数为 2 5 330C 答案答案 C 11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为r 组成一个几何体 该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为1620 则r A 1 B 2 C 4 D 8 解析解析 该几何体为一个半球加半个圆柱 正视图中有一条实横线 圆柱必是被轴截面 截去一半 调整角度后 几何体如图所示 22 451620Srr 表 2r 答案答案 B 12 设函数 21 x f xexaxa 其中1a 若存在唯一的整数 0 x 使得 0 0f x 则a的取值范围是 A 3 1 2e B 33 24e C 33 24e D 3 1 2e 解析解析 0 10fa 1 0fe 3 1 20fa e 解得 3 1 2 a e 答案答案 D FunshineMFunshineMathsaths 峰行数学峰行数学 资料整理资料整理 sh maths 二二 填空题填空题 本本大大题满分题满分 20 分分 共共 4 小题小题 每题每题 5 分分 13 若函数 2 ln f xxxax 为偶函数 则a 解析解析 根据 1 1 ff 可求出1a 答案答案 1 14 一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点 且圆心在x轴上 则该圆的标准方程为 解析解析 如图所示 设圆心为 0 x 根据半径相等 222 2 4 xx 解得1 5x 根据对 称性 1 5x 也符合 此时2 5r 所 以圆的标准方程为 222 1 5 2 5xy 答案答案 22 325 24 xy 15 若x y满足约束条件 10 0 40 x xy xy 则 y x 的最大值为 解析解析 可行域如图所示 y x 的几何意义是动点与原点的 斜率的大小 结合图像可知 当1x 3y 时 y x 有最大值 3 答案答案 3 16 在平面四边形ABCD中 75ABC 2BC 则AB的取值范围是 解析解析 如图所示 当点D与点A接近于重合时 AB最大 621 cos75 4AB 此时解得62AB 当点D与点C接近于重合时 此时AB最小 根据 62 cos75 44 AB 解得62AB 平面四边形ABCD 都取 不到等号 即 62 62 AB 答案答案 62 62 FunshineMFunshineMathsaths 峰行数学峰行数学 资料整理资料整理 sh maths 三三 解答题解答题 本大题满分本大题满分 70 分分 第第 17 题题 第第 21 题为必考题题为必考题 第第 22 题题 第第 24 题为选考题题为选考题 17 本小题满分 12 分 n S为数列 n a的前n项和 已知0 n a 2 243 nnn aaS 1 求 n a的通项公式 2 设 1 1 n nn b a a 求数列 n b的前n项和 解析解析 1 作差法 可得 1 2 nn aa 求出 1 3a 21 n an 2 裂项法 12 111 3 55 7 21 23 n bbb nn 1 1111111 11 2 355721232 32369 n nnnn 18 本小题满分 12 分 如图 四边形ABCD为菱形 120ABC E F是平面ABCD 同一侧的两点 BE 平面ABCD DF 平面ABCD 2BEDF AEEC 1 证明 平面AEC 平面AFC 2 求直线AE与直线CF所成角的余弦值 解析解析 1 联结BD 交AC于点O 联结OE OF EF 易证AEEC OEAC 同理OFAC 平面AEC与平面AFC所成角即EOF 易证Rt EBO Rt ODF 90EOF 即平面AEC 平面AFC 或者以O为坐标原点 建立空间直角坐标系 证0OE OF 2 以O为坐标原点 射线OB为x轴 OC为y轴 OG为z轴 建立空间直角 坐标系 设菱形ABCD边长为 2 则点 0 3 0 A 1 0 2 E 0 3 0 C 2 1 0 2 F 1 3 2 AE 2 1 3 2 CF 3 cos 3 19 本小题满分 12 分 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费x 单位 千元 对年销售量y 单位 t 和年利润z 单位 千元 的影响 对近 8 年的 年宣传费 i x和年销售量 i y 1 2 8i 数据作了初步处理 得到下面的散点图及一些统 计量的值 FunshineMFunshineMathsaths 峰行数学峰行数学 资料整理资料整理 sh maths x y w 8 2 1 i i xx 8 2 1 i i ww 8 1 ii i xxyy 8 1 ii i ww yy 46 6 563 6 8 289 8 1 6 1469 108 8 表中 ii wx 8 1 i i ww 1 根据散点图判断yabx 和ycdx 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费 x的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 2 根据 1 的判断结果及表中数据 建立y关于x的回归方程 3 已知这种产品的年利润z与x y的关系为0 2zyx 根据 2 的结果回答下列 问题 年宣传费49x 时 年销售量及年利润的预报值是多少 年宣传费x为何值时 年利润的预报值最大 附 对于一组数据 1122 nn u vu vu v 其回归直线vu 的斜率和截距的最小 二乘估计分别为 1 2 1 n ii i n i i uu vv uu vu 解析解析 1 结合图像形状可知ycdx 更符合 2 根据所提示公式 8 1 8 2 1 108 8 68 1 6 ii i i i ww yy ww 56368 6 8100 6yw 即68100 6yx 3 49x 时 576 6y 0 20 2 576 64966 32zyx 2 0 20 2 68100 6 13 620 12zyxxxxx 结合二次函数图象与性质可知6 8x 时取到最大值 即46 24x FunshineMFunshineMathsaths 峰行数学峰行数学 资料整理资料整理 sh maths 20 本小题满分 12 分 在直角坐标系xOy中 曲线 2 4 x C y 与直线 l ykxa 0 a 交与M N两点 1 当0k 时 分别求C在点M和N处的切线方程 2 y轴上是否存在点P 使得当k变动时 总有OPMOPN 说明理由 解析解析 1 2 4xa 2 Ma a 2 Na a 2 x ya M处切线方程yaxa N处切线方程yaxa 2 假设存在 设 0 Pp OPMOPN 0 PMPN kk 即 12 12 0 ypyp xx 化简得 1212 4 0 xxx xp 联立方程 韦达定理 12 4xxk 12 4x xa 代入上式 pa y轴上存在点 0 Pa 使得当k变动时 总有OPMOPN 21 本小题满分 12 分 已知函数 3 1 4 f xxax lng xx 1 当a为何值时 x轴为曲线 yf x 的切线 2 用min m n表示m n中的最小值 设函数 min h xf x g x 0 x 讨论 h x零点的个数 解析解析 1 2 30fxxa 3 1 0 4 f xxax 解得 1 2 x 3 4 a 2 当0a 时 可知 2 30fxxa 0 25f x 结合图像可知 h x只有 一个零点 h x图像为红色实线部分 当 3 0 4 a 时 f x在 0 上的 的最低点 3 0 3 a f 结合图像可知 h x此时有一个零点 1 0 当 3 4 a 时 f x在 0 上的最低 点 3 0 3 a f 结合图像可知 h x此 时有两个零点 FunshineMFunshineMathsaths 峰行数学峰行数学 资料整理资料整理 sh maths 当 53 44 a 时 f x在 0 上 的最低点 3 0 3 a f 且产生的两个零 点在区间 0 1 上 结合图像可知 h x此 时有三个零点 当 5 4 a 时 f x在 0 上的最低 点 3 0 3 a f 且产生的两个零点中有 一个和 1 0 点重合 结合图像可知 h x 此时有两个零点 当 5 4 a 时 f x在 0 上的最低 点 3 0 3 a f 且产生的两个零点中有 一个大于 1 此时 1 0 点取不到 结合 图像可知 h x此时只有一个零点 综上所述 当 3 4 a 或 5 4 a 时 h x有一个零点 当 3 4 a 或 5 4 a 时 h x有两个零点 当 53 44 a 时 h x有三个零点 请考生在请考生在 22 23 24 三题中任选一题作答三题中任选一题作答 如果多做如果多做 则按所做第一个题目计分则按所做第一个题目计分 22 本题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB是O 的直径 AC是O 的切线 BC交O 于E 1 若 D 为 AC 的中点 证明 DE 是O 的切线 2 若3OACE 求ACB 的大小 解析解析 1 证明 联结AE OE DO 易证AECE DEDA AOEO 且DODO DAO DEO 90DEO 即 DE 是O 的切线 2 AEC BEA BAC AEBE 设1CE 2 3AB 勾股定理解得3BE 30A