1.1.1正弦定理（1）.ppt

第一章 解三角形 1 1 1正弦定理 1 问题的引入 1 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事 明月高悬 我们仰望夜空 会有无限遐想 不禁会问 月亮离我们地球有多远呢 科学家们是怎样测出来的呢 B C A 如何测定河岸A点到对岸B点的距离 把实际问题转化为数学问题 已知三角形的两个角和一条边 求另一条边 在岸边选定基线AC 并测得AC的长及 ACB BAC的度数 由此求出A B两点的距离 回忆一下直角三角形的边角关系 两等式间有联系吗 思考 对一般的三角形 这个结论还能成立吗 2 定理的推导 1 当是锐角三角形时 结论是否还成立呢 D 如图 作AB上的高是CD 根椐三角形的定义 得到 E 综上知 结论成立 且 仿 2 可得 2 若三角形是钝角三角形 且角C是钝角如图2 此时也有 交BC延长线于D 过点A作AD BC 结论成立吗 3 正弦定理在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 含三角形的三边及三内角 由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角 定理结构特征 作三角形ABC外接圆O 半径R 过B作直径BC 连AC 2R为 ABC外接圆直径 2R 正弦定理 剖析定理 加深理解 1 A B C 2 大角对大边 大边对大角 剖析定理 加深理解 3 正弦定理可以解决三角形中的问题 已知两角和一边 求其他角和边 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 剖析定理 加深理解 4 一般地 把三角形的三个角A B C和它们的对边a b c叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形 剖析定理 加深理解 5 正弦定理的变形形式 6 正弦定理 可以用来判断三角形的形状 其主要功能是实现三角形边角关系的转化 定理的应用 例1 在 ABC中 已知a 42 9 A 32 B 81 8 解三角形 解 而 74 1 已知两角和任意边 求其他两边和一角 a 小结 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 1 由三角形的内角和定理求出第三个角 2 由正弦定理公式的变形 求另外的两条边 注意 若已知角不是特殊角时 往往先求出正弦值 这时应注意角的拆并 即将非特殊角转化为特殊角的和或差 如 再根据上述思路求解 在 ABC中 已知A 75 B 45 c 求a b 已知两边和其中一边的对角 可以求出三角形的其他的边和角 小结 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 1 首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值 2 如果已知的角为大边所对的角时 由三角形中大边对大角 大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角 由正弦值可求锐角唯一 3 如果已知的角为小边所对的角时 则不能判断另一边所对角为锐角 这时由正弦值可求两个角 要分类讨论 变式2 B 300 无解 3 ABC中 B 30 c 5 b 5 则 ABC的形状是 A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰或直角三角形 D 正弦定理主要应用 1 已知两角及任意一边 可以求出其他两边和另一角 2 已知两边和其中一边的对