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高阶微分方程 应用习题课 第七章微分方程 二 二阶微分方程的实际应用 一 两类高阶微分方程的解法 1 可降阶微分方程的解法 2 二阶线性微分方程的解法 一 两类高阶微分方程的解法 1 可降阶微分方程的解法 降阶法 令 令 逐次积分求解 2 二阶线性微分方程的解法 常系数齐次情形 代数法 特征方程 实根 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 2 二阶线性微分方程的解法 常系数非齐次情形 代数法 为常数 其中 为实数 为m次多项式 1 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 将此式代入原方程比较系数即可确定该特解 2 二阶线性微分方程的解法 常系数非齐次情形 代数法 为常数 则可设特解 其中 为特征方程的k重根 k 0 1 上述结论也可推广到高阶方程的情形 将此式代入原方程比较系数即可确定该特解 的解 例1 设函数 内具有连续二阶导 1 试将x x y 所满足的微分方程 变换为y y x 所满足的微分方程 2 求变换后的微分方程满足初始条件 数 且 解 上式两端对x求导 得 1 由反函数的导数公式知 2003考研 代入原微分方程得 2 方程 的对应齐次方程的通解为 设 的特解为 代入 得A 0 从而得 的通解 由初始条件 得 故所求初值问题的解为 二 微分方程的应用 1 建立数学模型 列微分方程问题 建立微分方程 共性 利用物理规律 利用几何关系 确定定解条件 个性 初始条件 边界条件 可能还有衔接条件 2 解微分方程问题 3 分析解所包含的实际意义 例2 解 欲向宇宙发射一颗人造卫星 为使其摆脱地球引 力 初始速度应不小于第二宇宙速度 试计算此速度 设人造地球卫星质量为m 地球质量为M 卫星 的质心到地心的距离为h 由牛顿第二定律得 G为引力系数 则有初值问题 又设卫星的初速度 代入原方程 得 两边积分得 利用初始条件 得 因此 注意到 为使 因为当h R 在地面上 时 引力 重力 即 代入 即得 这说明第二宇宙速度为 练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器 按探测要求 需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间的函数关 系 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉 在 下沉过程中还受到阻力和浮力作用 设仪器质量为m 体积为B 海水比重为 仪器所受阻力与下沉速度成 正比 比例系数为k k 0 试建立y与v所满足的 微分方程 并求出函数关系式y y v 1995考研 提示 建立坐标系如图 质量m体积B 由牛顿第二定律 重力 浮力 阻力 初始条件为 用分离变量法解上述初值问题得 得 注意 在闭合回路中 所有支路上的电压降为0 例3有一电路如图所示 电阻R和电 解列方程 已知经过电阻R的电压降为Ri 经过L的电压降为 因此有 即 初始条件 由回路电压定律 其中电源 求电流强度 感L都是常量 解方程 由初始条件 得 利用一阶线性方程解的公式可得 因此所求电流函数为 解的意义 求电容器两两极板间电压 练习题 联组成的电路 其中R L C为常数 所满足的微分方程 解设电路中电流为i t 的电量为q t 自感电动势为 由电学知 根据回路电压定律 设有一个电阻R 自感L 电容C和电源E串 极板上 在闭合回路中 所有支路上的电压降为0 串联电路的振荡方程 化为关于 的方程 故有 如果电容器充电后撤去电源 E 0 则得 当重力与弹性力抵消时 物体处于平衡状态 例4质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上 力与阻力作用下作往复运动 解 阻力的大小与运动速度 向下拉物体使它离开平衡位置后放开 若用手 物体在弹性 取平衡时物体的位置为坐标原点 建立坐标系如图 设时刻t物位移为x t 自由振动情况 弹性恢复力 物体所受的力有 虎克定律 成正比 方向相反 1 建立位移满足的微分方程 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程 阻力 强迫振动情况 若物体在运动过程中还受铅直外 则得强迫振动方程 力 2 解 在无外力作用下做自由运动 求物体的运动规律 为初始 设t 0时物体的位置 方程 特征方程 特征根 方程通解 无阻尼自由振动情况 n 0 利用初始条件得 故所求特解 简谐振动 A 振幅 初相 周期 固有频率 仅由系统特性确定 解的特征 方程 特征方程 特征根 小阻尼 n k 这时需分如下三种情况进行讨论 有阻尼自由振动情况 大阻尼 n k 临界阻尼 n k 解的特征 解的特征 解的特征 小阻尼自由振动解的特征 由初始条件确定任意常数后变形 运动周期 振幅 衰减很快 随时间t的增大物体趋于平衡位置 大阻尼解的特征 n k 1 无振荡现象 此图参数 2 对任何初始条件 即随时间t的增大物体总趋于平衡位置 临界阻尼解的特征 n k 任意常数由初始条件定 最多只与t轴交于一点 即随时间t的增大物体总趋于平衡位置 2 无振荡现象 此图参数 3 的作用 求物体的运动规律 解问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p k时 齐次通解 非齐次特解形式 因此原方程 之解为 若设物体只受弹性恢复力f 和铅直干扰力 代入 可得 当干扰力的角频率p 固有频率k时 自由振动 强迫振动 当p k时 非齐次特解形式 代入 可得 方程 的解为 若要利用共振现象 应使p与k尽量靠近 或使 随着t的增大 强迫振动的振幅 这时产生共振现象 可无限增大 若要避免共振现象 应使p远离固有频率k p k 自由振动 强迫振动 对机械来说 共振可能引起破坏作用 如桥梁被破坏 电机机座被破坏等 但对电磁振荡来说 共振可能起 有利作用 如收音机的调频放大即是利用共振原理 练习1容器内溶液的含糖量问题 一容器内有糖水100L 含糖量为100克 现以5L min的速度注入浓度为10克 L的糖水 同时将均匀混合的糖水以5L min的速度排出 求含糖量对时间变化的函数 分析 在时间微量dt内容器含糖量的改变量 解得 该时间内排出盐水的含盐量 该时间内注入盐水的含盐量 练习2污水治理问题 某湖泊水量为V 每年均匀排入含污染物A的污水量V 6 流入不含污物A的水量也是V 6 同时每年以匀速将V 3的水量排出湖泊 经测m 0 5m0 为治理执行限排标准 排入湖泊中的污染物含A浓度不得超过每年m0 V 假定湖中含A总是均匀的 问几年后A含量不超过m0 湖中A