从“为教学设计学习”到“为学习设计教学”——对“函数的单调性”教学设计的改进和反思.doc

从“为教学设计学习”到“为学习设计教学”对“函数的单调性”教学设计的改进和反思第17卷第2期2008年4月数学教育JOURNALOFMATHEMATICSEDUCATIONVo1.17,N0.2Apr.,2008从为教学设计学习到为学习设计教学对函数的单调性教学设计的改进和反思罗强(苏州市第五中学,江苏苏州215008)摘要:函数的单调性的第一课时聚集了数学教学的诸多矛盾,它的教学设计和教学过程对每个数学教师都是一个挑战.基于为教学设计学习理念的教学设计注重教师的教而忽视学生的学,注重知识的传递过程和学生对教师权威的服从,而忽视学生的独立思考和意义建构.基于为学习设计教学理念的教学设计则着眼于学生的学,注重让学生经历函数单调性概念由图象直观特征到自然语言描述再到数学符号描述的进化过程,注重让学生体验数学知识的发生发展过程,并在体验函数单调性概念符号化的建构过程中掌握数学的认知策略.关键词:函数的单调性;为教学设计学习;为学习设计教学中图分类号:G632.4文献标识码:A文章编号:1004-9894(2008)O2_JDO85_J05高中数学新课程中,函数单调性的起始教学被安排在第二章一一函数概念和基本初等函数I,2.1.3函数简单性质中.函数的单调性的第一课时聚集了数学教学的诸多矛盾,它的教学设计和教学过程对每个数学教师都是一个挑战.教师在教学中设定怎样的教学目标,选择怎样的教学策略,设计怎样的问题情境和问题链,既可以充分反映教师在数学教学上的关注点,也可以充分体现教师的教学能力和教学智慧.因此,这个课题是各级各类教研活动的公开课,评优课的经典课题.本文拟通过函数的单调性第一课时的两个不同教学设计的对比,对如何基于为学习设计教学理念进行教学设计,提出自己的一些做法和体会.1基于为教学设计学习理念的教学设计先给出一位职初教师的教学设计.这位青年教师己掌握教学设计的基本要求,按照这样的教学设计实施教学,基本上可以比较顺利地完成教学任务.但是,细细剖析这份教学设计,可以发现整个教学设计基于的是为教学设计学习的理念.【教学目标】(1)知识与技能:理解单调函数,单调区间的概念,并能根据函数的图像指出单调性,写出单调区间,能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性.(2)过程与方法:通过本节课的教学,渗透数形结合的数学思想,同时对学生进行辩证唯物主义的教育.(3)情感,态度与价值观:培养学生分析,综合能力,理性描述生活中的增长,递减现象.点评:上述教学目标中,知识与技能目标定位比较恰当.但从后面的教学过程看,教师对一些定位教学目标的关键词,如理解,简单等并没有很好地理解,也没有很好地贯彻,这样,制定教学目标这个过程实际上成了无用的文字摆设.此外,过程与方法目标,情感,态度与价值观目标显得空洞无物,给人以把新课程的3维目标当作标签来贴的感觉.【重点难点】-(1)教学重点:掌握函数单调性的概念.(2)教学难点:利用函数单调的定义证明具体函数的单调性.点评:函数单调性的定义是一个符号化特征很强的数学概念.这样的概念高一学生是第一次接触,如何让学生理解这种符号化的,抽象的数学语言,参与函数单调性概念的符号化过程是本节课的第一个难点.同时,由于学生第一次接触到代数证明,如何运用函数单调性的定义严格证明函数的单调性并完成规范的书面表达则是本节课的另一难点.在本教学设计中,教学重点,难点的设定不够准确.【教学过程】(1)情境引入.引例l给出春兰股份某日股价的走势图,观察股价的增减变化.(图略)引例2图1是某市一天24小时内的气温变化图.气温0是关于时间t的函数,记为0,观察这个气温变化图,说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的?让学生回答气温的变化情况(只要初步描述)./.,.h图1某市一151气温变化图进一步引导:我们用怎样的数学语言来刻画上述时间段内随着时间的推移气温逐渐升高或降低这一特征呢?点评:函数单调性是函数性质中的一个重要概念,教师需要创设恰当的情境让学生体会函数单调性概念产生的必收稿日期:2008-01-06作者简介:罗强(1965一),男,回族,江苏苏州人,高级教师,主要从事中学数学教学研究数学教育第17卷要性和价值,并引领后续的教学.但本教学设计在创设情境时重视了情境的生动性而忽视了情境的数学性,存在为情境而情境的问题.引例1的股价走势图虽然可以反映股价的变化,但与高中数学所研究的函数单调性严格来讲有一定的不同,且股价走势情境包含学生所不具备的一些股市专业知识,作为本节课的教学情境不妥.此外,本节课选用两个情境也显多余.(2)讲授新知.出示课题:2.1.3函数的简单性质1.函数的单调性.上述描述中的在某个区间内Y随X的增大而增大(减小),在数学中我们就称为此函数在这个区间内是增函数(减函数).如何用数学语言来描述?单调增函数和单调减函数的概念:一般地,设函数y=fix)的定义域为A,区间JA.如果对于区间J内的任意两个值X1,X2,当Xl<2时,都有f(x1),2),那么就说y=f(x)在区间J上是单调增函数(IncreasingFunction),J称为y=flx)的单调增区间(IncreasingInterva1).如果对于区间J内的任意两个值X1,X2,当Xl<2时,都有f(x1),2),那么就说),i,)在区间J上是单调减函数(DecreasingFunction),J称为y=fix)的单调减区间(Decrea-singInterva1).如果函数y=fix)在区间J上是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=fix)在区间J上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.说明:强调任意,都有这些关键词.点评:本教学设计从问题情境直接进入到教师讲授数学新知,采用了把知识当结果来教的教学方式.这样的教学设计注重了教师的教而忽视学生的学;注重了知识的传递过程和学生对教师权威的服从,而忽视了学生的独立思考和意义建构.其实,从学生学习的角度出发,知识的生成过程比知识本身更重要.(3)讲解例题.例1画出下列函数的图像,并写出单调区间:.1(1),=+2;(2)y=;(3)Y=二(0).说明:教师提问上述函数在定义域上是单调函数吗?让学生加深对单调函数的印象,说明定义域内的单调性要分情况确定.1例2求证:函数f(x)=一一1在区间(一,O)上是单调增函数.证明略.教师小结定义法证明函数在某区间内单调性的步骤:(1)任取区间内两个值X1,X2,且Xl<2;(2)判断相应的f(x1)和f(x2)的大小(作差,变形);(3)若1)<f(xgN函数为区间内的单调增函数,若f(x1)2)则函数为区间内的单调减函数O定号).1例3求函数_),:x+Z(>0)的单调性.说明:利用多媒体辅助教学,先用几何画板进行直观描述,然后用定义法证明.探索题探究(1)求函数y+兰>0)的单调性;(2)XL求函数v=似+>0,易>0)的单调性.点评:有许多教师认为,数学教学设计就是数学例题和数学练习的设计,本教学设计中,教师在前面省略了函数单调性概念的生成过程,而将主要的教学时间安排在了例题和练习的教学上.这样的教学设计存在重题型展示和解题训练,轻知识生成的问题.例3和探索题追求一步到位,其难度远远超出了教学目标所设定的函数单调性第一课时的教学要求.由于学生刚刚接触一个新的数学概念,尚不具备独立探索和思考的能力,例3和探索题的教学过程势必就会成为教师单向讲授,学生被动接受的局面.2基于为学习设计教学理念的教学设计2.1分析教学任务教学设计的首要任务就是明确教学目标,实际上教学目标是教学设计的灵魂和统帅,将指引后续教学设计的方向,决定后续教学设计的具体工作.按照为学习设计教学的理念,在制定教学目标时,应从以下3个方面对教学任务进行分析:(1)从数学知识体系的角度分析教学任务.函数单调性是高中阶段刻画函数变化的一个最基本的性质.函数单调性的学习和运用贯穿高中代数课程的始终,在教学中要体现出螺旋上升的特征.高中数学课程中对于函数单调性的研究可以分为两个阶段:第一阶段,用运算的性质研究单调性,知其变化趋势;第二阶段,用导数的性质研究单调性,知其变化快慢.高一对函数单调性的学习处于第一个阶段,需要教师把握好教学要求,稳步推进,不能急于求成,超越阶段.(2)从学生学习的角度分析教学任务.函数的单调性是学生学习了函数概念后研究的函数的第一个性质,也是学生进入高中阶段后接触的第一个用数学符号语言刻画的数学概念,它的学习对学生来说具有一定的挑战性.同时,函数单调性的研究过程具有较好的示范性,可以为学生进一步学习函数的其他性质提供方法范例,对学生提升数学认识具有引领作用.因此,在教学设计中,就需要教师在把握学生学情的基础上体现数学本质,有效突破教学难点.(3)从教师教学的角度分析教学任务.函数的单调性第一课时既是一节较为抽象的数学概念课,也是一节具有奠基意义的数学方法课,同时还包含着数学认知策略的教学.按照为学习设计教学的理念,教学的目的在于有效的促进学生的学习,教师要以学定教,因材施教,教为不教,教学设计一方面是通过创设教与学的系统,帮助学生最大限度的获取数学知识,另一方面在于帮助学生学会学习,也即让学生掌握数学的认知策略.因此,教师既需要从数学学科体系的宏观角度进行整体把握,第2期罗强:从为教学设计学习到为学习设计教学也要从教材编排的中观角度进行单元设计,还要从教学方法的微观角度做好具体的课堂教学设计.2.2确定教学目标通过前面的任务分析,我觉得在决定本节课的教学目标和教学策略时,要把握以下两点:第一,把握教学要求,不求一步到位;第二,明确知识目标,落实隐性目标.知识目标往往就是教学的显性目标,确定知识目标的关键在于分清主次轻重,把握好教学要求.根据课标的要求,我们把本节课的知识目标定位在以下3个方面:一是理解函数单调性的概念,二是掌握判断函数单调性的方法,三是会用定义证明一些简单函数在某个区间上的单调性,这节课的隐性目标一定要着眼于学生的学,函数单调性的定义是对函数图像特征的一种数学描述,它经历了由图像直观特征到自然语言描述再到数学符号描述的进化过程,反映了数学的理性思维和理生精神,它的教学对高一学生来讲是一个很有价值的数学教育载体和契机.因此,这节课的隐眭目标应该包括让学生体验数学知识的发生发展过程,在体验函数单调性概念符号化的建构过程中掌握数学的认知策略,2.3设计教学过程根据前面的分析,我把教学流程分成了3个阶段:第一阶段:函数单调性概念的符号化过程.(1)学习准备.教师回顾教材中的本章引言,说明从本节课开始,我们将要从研究如何反映客观事物的变化规律,到研究它们是如何变化的,为学生今后一个阶段的学习指引一个大方向.(2)问题情境.问题1:教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语:蒸蒸日上,每况愈下,波澜起伏.问题2:请学生根据上述成语分别给出一个函数,并在直角坐标系中绘制相应的函数图像.设计意图:创设成语一图像的问题情境,让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解,并请学生将文字语言转化为图形语言,这样做使教学过程富有情趣,可激发学生的学习热情,在教学起点的设定上也比较恰当.从左向右看函数图像的变化趋势有3种情况:在整个定义域上呈上升趋势;在整个定义域上呈下降趋势;定义域被划分成若干区间,在每个区间的上升(或下降)趋势是确定的,3个成语恰好对应这3种情况.(3)温故知新.问题1:观察学生绘制的函数的图像(如图2,实际教学中可根据学生回答定),指出图像变化的趋势.Y=(1)1,fjR/lD/2一1(1)(2)(3)图2函数图像(一)观察得到:随着X值的增大,函数的函数图像有的呈逐渐上升的趋势,有的呈逐渐下降的趋势,有的在一个区间内呈上升的趋势,在另一区间内呈逐渐下降的趋势.问题2:图像呈逐渐上升趋势这句话初中是如何描述的?例如,初中研究),=时,我们知道,当x<0时,函数值Y随X的增大而减小,当x>0时,函数值Y随X的增大而增大.回忆初中对函数单调性的描述性定义:图像呈逐渐上升趋势铮函数值Y随X的增大而增旧像呈逐渐下降趋势铮函数值随的增大而减小I函数的这种性质称为函数的单调性.设计意图:学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础:一是生活体验,二是函数图像,三是初中对函数单调性的学习.对照绘制的函数图像,让学生回忆初中对函数单调性的描述性定义,并在此基础上进行概念的符合化建构,与学生的认知起点衔接紧密,符合学生的认知规律.(4)建构概念.问题3:如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性昵?第1步:将两个增大符号化.1当i堕:i第2步:再将随符号化.I当i三兰堕:,i2S)J第3步:再将隐含语言任意符号化.能否通过个别数值来说明单调性?例如,函数v=(R),取一一l,2,3,4,相应地-l,一1,4,9,l6,能不能说函数值Y随X的增大而增大?对区间,上有限个或无限个自变量满足1<,且1),),都不能反映函数值Y随X的增大而增大的本质.必须强调X,X2的任意性,才能准确表述单调递增的特征.堡童!s丝:壑查i2s)j第4步:再将隐含语言区间符号化.X1,X2在任意的同时,还有不任意,因为单调性描绘的是函数的局部性质,它与区间密不可分,强调定义中X1,X2,.匮王匡囹堡重亘全笪丑:兰:当i堕:叠查I定义:一般地,设函数),触)的定义域为A,区间,A.如果对于区间,内的任意两个值X1,X2,当1<X2时,都有f(x1)<),那么就说在区间,上是单调增函数,称为),的单调增区间.问题4:如何定义单调减函数呢?定义:一般地,设函数),的定义域为A,区间,A.如果对于区间,内的任意两个值X1,X2,当Xl<X2时,都有1),那么就说),i在区间,上是单调减函数,门尔为),i触)的单调减区间.如果函数),=在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数),号f【)在这个区间上具有单调性,这个区间就叫做函数),=触)的单调区间.数学教育第17卷设计意图:问题3的解决被设计成逐层递进的4步,这样可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程,让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象,从文字到符号,从粗疏到严密的,让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则.对于学生错误的回答,教师可5I导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,特别是要使学生认识到函数单调性概念的本质在于自变量不可能被穷尽,从而5I导学生在给定的区间内任意取两个自变量,x2.问题4则要求学生结合图像和单调增函数的定义,通过类比的方法,由学生自己得到单调减函数的概念,在这个过程中,学生可以体会数学概念是如何扩充完善的.第二阶段:从不同角度深入理解函数单调性的概念.(1)顾名思义,对单调两字加深理解.汉语大词典对单调的解释是:简单,重复而没有变化.我哼出一段音乐调子:1,7,6,5,4,3,2,1,再换成1,5,3,5,1,5,3,5,前者给我们单调递减的感觉,后者则是在变化的.(2)呼应引入,解决问题情境中的问题.函数y=+1的单调增区问是(一oo,+.);1函数y=(xe(0,+o.)的单调增区问;函数y=(x-1)2-1的单调增区问是【1,+o.),单调减区间是(一o.,11.(3)构造反例,加深对概念的理解.如何说明一个函数不具有单调性?实际上只要否定任意即可.要说明y)在区间,上不是单调增函数,只要在区问,内找到两个值1,2,当X12时,有f(x1)2)即可.一个函数在定义域的若干个区间上具有相同的单调性,能否说在定义域上具有相同的单调性?(见例1)例1作函数),=郴)的图像,并写出它的单调区间.解:函数),0)的图像如图3所示,(一o.,0)和(0,+o.)是两个单调减区问.1提问:能不能说,函数10)在定义域(一oo,0)U(0,+o.)上是单调减函数?引导讨论,从图像上观察或取特殊值代入验证否定结1论.(如取一1,=)y1D.Xy=1O)图3函数图像(二)设计意图:学生对一个概念的认识不可能一次完成,教师要善于从多个角度,通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延.在学习如何证明一个函数的单调性之前,先与学生一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要,可以加深学生对任意两字的理解.第三阶段:学会用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性.例2判断函数=一二一1的单调性,并证明.通过本例,教师要向学生说明:(1)判断函数单调性的主要方法:观察法:画出函数图像来观察;定义法:严格按照定义进行验证;分解法:对函数进行恰当的变形,使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合.(2)概括出定义证明函数单调性的一般步骤:取值一作差一变形一定号.练习:作函数y=1)2_I1y=11的图像,写出单调区间.设计意图:单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,通过本例,要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别,掌握证明函数单调性的程序,并深入理解什么是代数证明,代数证明要做什么事.3几点教学反思通过对函数单调性教学设计的改进,实践和反思,我对教学设计有了更深的认识,教学设计最根本的理念是为学习设计教学,而不是为教学设计学习.(1)教学设计的要素是一一学情分析,目标导向,知识定位与问题设计.如果把教学看作是教师带领学生一起去远足,那么学情分析的目的是要分析学生的认知基础,确定一个合情合理的教学起点;目标导向则是要教师分析预期达到的教学效果,即远足所期望到达的目的地,这是教学的根本指向和核心任务,是教学设计的关键:知识定位则好比是教师要预先分析通往目的地的道路状况,从而决定前进的方法和策略;问题设计则好比是设计行程,设定远足过程中的途经点,恰当的行程安排可以指引师生高效地向着目的地前行.(2)教学设计中的知识定位就是要确定这节课所要教学的知识的类型,并根据知识类型确定相应的教学方法和教学策略.根据现代认知心理学关于广义知识分类的研究,知识可以分为3类:陈述性知识,程序性知识和策略性知识_1.在本节课中,什么叫函数的单调性是陈述性知识,如何判断函数的单调性,如何证明函数的单调性就需要程序性知识.隐含在函数单调性有关概念和原理学习过程中的认知策略和对思维过程的自我反思就是策略性知识.本节课的教学难点之一是如何运用函数单调性的定义严格证明函数的单调性,这实际上是程序性知识的教学.程序性知识学习的第一阶段是陈述性的,第二阶段是通过应用这一规则的变式练习,使规则由陈述性形式向程序性形式转化.就如何证明函数的单调性来说,学生通过教师讲解和意义建构,知道了证明函数的单调性的规则,并能陈述这些规则(陈述性知识),再通过一定的变式练习,才能根据规则对函数的单调性进行严格的证明.数学的策略性知识包括解决问题的策略,数学推理的策略以及对自己或他人数学思维过程的反思,策略性知识往往是不能言传的然会知识,笛卡儿曾说过:最有用的知识是关于方法的知识.但我们在教学中常常会不自觉地只见树木,不见森林,只重视陈述性知识,程序性知识的教学,第2期罗强:从为教学设计学习到为学习设计教学而忽视策略性知识的教学.函数单调性的定义经历了由图像直观感知到自然语言描述,再到数学符号语言描述的进化过程,在本节课的学习中,学生最重要的收获也许就是体验和感悟蕴含在函数单调性概念的符号化建构过程中的策略性知识.(3)张奠宙教授提出:教师的责任在于把写在教科书上的冰冷的学术形态,恢复为学生易于接受的火热思考的教育形态.I2I波利亚则说:在教一个科学的分支(或一个理论,一个概念)时,我们应该让孩子重蹈人类思想发展中的那种最关键的步子,当然我们不应该让他们重蹈过去的无数个错误,而仅仅是重蹈关键性步子.这两句话揭示出数学有三种形态:学术形态,教育形态,自然形态.教学设计就是要在数学的自然形态和数学的学术形态两极的中间构建起既反映数学本质又适宜学生学习的数学的教育形态.参考文献1张春莉,王小明.数学学习与教学设计M.上海:上海教育出版社,2004.2张奠宙,王振辉.关于数学的学术形态和教育形态一一谈火热的思考与冰冷的美丽J.数学教育,2002,ll(2):1-3.FromLearningbytheDesignofTeachingtoTeachingbytheDesignofLearninaReviewandImprovementofTeachingDesignandPlanningforMonotonicityofFunctionLUOQiang(No.5MiddleSchool,JiangsuSuzhou215008,China)Abstract:Agoodmanycontradictionsofmatheducmionassemblesatthefirstlessonofmonotonicityoffmnction,whichconstituteschallengedtotheteachingdesignandplanningandteachingprocessforeverymathteacher.TeachingdesignandplanningbasedontheconceptoflearningbythedesignofteachingpaidmoreaRentionstotheteachingofteachersthantolearningoflearners,emphasizeonthetransferringprocessofknowledgeandthestudentSobediencetothepowerofteachers,thusneglecttheindependentreflectionandpurportconformation.However,teachingdesignandplanningbasedontheconceptofteachingbythedesignoflearning,withanaRentiveviewtothelearningprocessofstudents,emphasizedontheevolutionprocessofmonotonicityoffunctionfromintuitivegraphiccharactertonaturallanguagedescriptionandthentomathdenotationdepiction,andalsoemphasizedonthegeneticevolutionprocessofmathknowledge,helptomasterthec