高数函数极限与连续.ppt

函数 极限与连续 一 函数二 函数的极限三 函数的连续与间断 机动目录上页下页返回结束 一函数 1 函数的定义 机动目录上页下页返回结束 函数两要素 定义域和对应法则 例1 下列各组函数是否相同 为什么 不同 不同 相同 机动目录上页下页返回结束 2 分段函数 机动目录上页下页返回结束 例2 解 故所求定义域为 机动目录上页下页返回结束 1 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 3 函数的性质 机动目录上页下页返回结束 2 函数的单调性 设函数f x 的定义域为D 区间ID 如果对于区间I上任意两点及 当时 恒有 1 则称函数在区间I上是单调增加的 或 2 则称函数在区间I上是单调递减的 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数 x o y 机动目录上页下页返回结束 3 函数的有界性 x o y 1 1 机动目录上页下页返回结束 4 复合函数 则 设有函数链 称为由 确定的复合函数 u称为中间变量 注意 构成复合函数的条件 不可少 例如函数链 但函数链 不能构成复合函数 可定义复合函数 机动目录上页下页返回结束 两个以上函数也可构成复合函数 例如 可定义复合函数 机动目录上页下页返回结束 例3 设函数 求 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 例5 机动目录上页下页返回结束 例6 练习3 将分解成几个简单函数的复合 机动目录上页下页返回结束 5 初等函数 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 例如 在定义域上可用一个式子表示的函数 称为 经过有限次四则运算和复合运 算所构成 初等函数 可表为 故为初等函数 机动目录上页下页返回结束 例7 机动目录上页下页返回结束 2 自变量趋于有限值时函数的极限 二 函数的极限 自变量变化过程的六种形式 1 自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 3 无穷小与无穷大 4 两个重要极限 机动目录上页下页返回结束 5 无穷小阶的比较 1 自变量趋于无穷大时函数的极限 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 自变量趋向有限值时函数的极限 机动目录上页下页返回结束 左极限 右极限 2 单侧极限 机动目录上页下页返回结束 例1 求 当 从0左右两侧趋近于0时 的表达式不一样 须考察左右极限 解 机动目录上页下页返回结束 左右极限存在但不相等 例2 解 机动目录上页下页返回结束 练习1 设 求极限 机动目录上页下页返回结束 3 无穷小与无穷大 定理2 有限个无穷小的和还是无穷小 定理1 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 例 反例 机动目录上页下页返回结束 例3 解 抓大头 机动目录上页下页返回结束 解 例4 机动目录上页下页返回结束 解 例5 机动目录上页下页返回结束 4 两个重要极限 机动目录上页下页返回结束 例6 求下列极限 机动目录上页下页返回结束 定义 5 无穷小阶的比较 机动目录上页下页返回结束 常用等价无穷小 注 利用等价无穷小计算极限是一种基本方法 机动目录上页下页返回结束 不能滥用等价无穷小代换 切记 只可对函数的因子作等价无穷小代换 对于代数和中的各个无穷小不能分别代换 注意 例7 解 机动目录上页下页返回结束 例8 错误解法 正确解法 机动目录上页下页返回结束 例9 证 机动目录上页下页返回结束 2 求 4 试确定常数a b使 练习题 机动目录上页下页返回结束 可见 函数 在点 三 函数的连续与间断 1 定义 在 的某邻域内有定义 则称函数 1 在点 即 2 极限 3 设函数 连续必须具备下列条件 存在 且 有定义 存在 机动目录上页下页返回结束 定理1 基本初等函数在定义域内是连续的 定理2 一切初等函数在其定义区间内都连续 定义区间是指包含在定义域内的区间 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 间断点 不连续的点 分类 第一类间断点 及 均存在 若 也称 若 也称 第二类间断点 及 中至少一个不存在 也称 若其中有一个为振荡 也称 若其中有一个为 为可去间断点 为跳跃间断点 为无穷间断点 为振荡间断点 特别地 特别地 机动目录上页下页返回结束 为第二类间断点中的无穷间断点 为第二类间断点中的振荡间断点 为第一类间断点中的可去间断点 例2 求下列函数的间断点及其类型 机动目录上页下页返回结束 4 为第一类中的跳跃间断点 机动目录上页下页返回结束 注意 若函数在开区间上连续 则结论不一定成立 3 闭区间上连续函数的性质 最值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上 即 设 则 使 一定有最大值和最小值 或在闭区间内有间断点 机动目录上页下页返回结束 例如 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 机动目录上页下页返回结束 定理2 介值定理 设 且 则对A与B之间的任一数C 一点 使 至少有 定理3 零点定理 至少有一点 使 机动目