数模差分方程模型.ppt

重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 数学建模电子教案 重庆邮电大学数理学院沈世云023 62460842shensy 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 差分方程模型 重庆邮电大学数理学院沈世云 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 7 1差分方程基本知识7 2市场经济中的蛛网模型7 3减肥计划 节食与运动7 4差分形式的阻滞增长模型7 5按年龄分组的种群增长 第七章差分方程模型 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 7 1差分方程基本知识 1 差分方程 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律 通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系 从而建立差分方程 差分方程就是针对要解决的目标 引入系统或过程中的离散变量 根据实际背景的规律 性质 平衡关系 建立离散变量所满足的平衡关系等式 从而建立差分方程 通过求出和分析方程的解 或者分析得到方程解的特别性质 平衡性 稳定性 渐近性 振动性 周期性等 从而把握这个离散变量的变化过程的规律 进一步再结合其他分析 得到原问题的解 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 Fibonacci数列 问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作 算盘书 中记载着这样一个有趣的问题 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔 成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔 若不计兔子的死亡数 问一年之后共有多少对兔子 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 将兔群总数记为fn n 0 1 2 经过观察可以发现 数列 fn 满足下列递推关系 f0 f1 1 fn 2 fn 1 fn n 0 1 2 这个数列称为Fibonacci数列 Fibonacci数列是一个十分有趣的数列 在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用 Fibonacci数列的一些实例 1 蜜蜂的家谱2 钢琴音阶的排列3 树的分枝4 杨辉三角形 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 日常的经济问题中的差分方程模型 1 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户 银行的年利率为7 用an表示n年后你账户上的存款额 那么下面的数列就是你每年的存款额 a0 a1 a2 a3 an 设r为年利率 由于an 1 an ran 因此存款问题的数学模型是 a0 1000 an 1 1 r an n 1 2 3 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 2 家庭教育基金 从1994年开始 我国逐步实行了大学收费制度 为了保障子女将来的教育费用 小张夫妇从他们的儿子出生时开始 每年向银行存入x元作为家庭教育基金 若银行的年利率为r 试写出第n年后教育基金总额的表达式 预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元 按年利率3 计算 小张夫妇每年应向银行存入多少元 设n年后教育基金总额为an 每年向银行存入x元 依据复利率计算公式 得到家庭教育基金的数学模型为 a0 x an 1 1 r an x n 0 1 2 3 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 3 抵押贷款 小李夫妇要购买二居室住房一套 共需30万元 他们已经筹集10万元 另外20万元申请抵押贷款 若贷款月利率为0 6 还贷期限为20年 问小李夫妇每月要还多少钱 设贷款额为a0 每月还贷额为x 月利率为r 第n个月后的欠款额为an 则a0 200000 a1 1 r a0 x a2 1 r a1 x an 1 r an 1 x n 1 2 3 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 一阶线性差分方程 在上述模型中 给出了an 1与an之间的递推公式 将它们写成统一的形式 a0 c an 1 an b n 0 1 2 3 称此类递推关系为一阶线性差分方程 当b 0时称为齐次差分方程 否则称为非齐次差分方程 定义1对任意数列A a1 a2 an 其差分算子 定义如下 a1 a2 a1 a2 a3 a2 an an 1 an 定义2对数列A a1 a2 an 其一阶差分的差分称为二阶差分 记为 2A A 即 2an an 1 an an 2 an 1 an 1 an an 2 2an 1 an 一般地 可以定义n阶差分 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 差分方程an 1 an b的解 定理1一阶线性差分方程an 1 an b的通解是 定理2对一阶线性差分方程an 1 an b 若 1 则an逐渐远离平衡解b 1 发散型不动点 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 则被称为方程对应的齐次线性差分方程 若所有的ai t 均为与t无关的常数 则称其为常系数差分方程 即n阶常系数线性差分方程可分成 7 1 的形式 其对应的齐次方程为 7 2 也是方程 7 2 的解 其中c1 c2为任意常数 这说明 齐次方程的解构成一个线性空间 解空间 此规律对于 7 1 也成立 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 方程 7 1 可用如下的代数方法求其通解 步一 先求解对应的特征方程 7 3 C1 Cn为任意常数 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 为任意常数 i 1 2k 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 初始条件为y 0 2和y 1 3 求方程的齐次解 例2 系统的差分方程 特征根为 于是 由初始条件 解得 故齐次解 解 特征方程为 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 2 特解 特解得求法 将激励x n 代入差分方程右端得到自由项 特解的形式与自由项及特征根的形式有关 1 自由项为nk的多项式 1不是特征根 1是K重特征根 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 2 自由项为 不是特征根 则特解 是特征单根 则特解 是k重特征根 则特解 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 3 自由项为正弦或余弦表达式 4 自由项为正弦 不是特征根 是特征根 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 例3 求下示差分方程的完全解 其中激励函数 且已知 解 特征方程 齐次通解 将代入方程右端 得 设特解为形式 代入方程得 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 日常的经济问题中的差分方程模型 1 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户 银行的年利率为7 用an表示n年后你账户上的存款额 那么下面的数列就是你每年的存款额 a0 a1 a2 a3 an 设r为年利率 由于an 1 an ran 因此存款问题的数学模型是 a0 1000 an 1 1 r an n 1 2 3 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 2 家庭教育基金 从1994年开始 我国逐步实行了大学收费制度 为了保障子女将来的教育费用 小张夫妇从他们的儿子出生时开始 每年向银行存入x元作为家庭教育基金 若银行的年利率为r 试写出第n年后教育基金总额的表达式 预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元 按年利率3 计算 小张夫妇每年应向银行存入多少元 设n年后教育基金总额为an 每年向银行存入x元 依据复利率计算公式 得到家庭教育基金的数学模型为 a0 x an 1 1 r an x n 0 1 2 3 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 家庭教育基金模型的解 由a0 x an 1 1 r an x n 0 1 2 3 得通解 将a0 x 1 r b x代入 得c x 1 r r 因此方程的特解是 将a18 100000 r 0 03代入计算出x 3981 39 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 3 抵押贷款 小李夫妇要购买二居室住房一套 共需30万元 他们已经筹集10万元 另外20万元申请抵押贷款 若贷款月利率为0 6 还贷期限为20年 问小李夫妇每月要还多少钱 设贷款额为a0 每月还贷额为x 月利率为r 第n个月后的欠款额为an 则a0 200000 a1 1 r a0 x a2 1 r a1 x an 1 r an 1 x n 1 2 3 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 购房抵押贷款模型的解 由a0 200000 an 1 1 r an x n 0 1 2 3 将 1 r b x代入得到方程的特解 若在第N个月还清贷款 令aN 0 得 将a0 200000 r 0 006 N 20 12 240代入计算出x 1574 70 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 4 分期付款 小王看到一则广告 商场对电脑实行分期付款销售 一台售价8000元的电脑 可分36个月付款 每月付300元即可 同时他收到了银行提供消费贷款的消息 10000元以下的贷款 可在三年内还清 年利率为15 那么 他买电脑应该向银行贷款 还是直接向商店分期付款 经过分析可知 分期付款与抵押贷款模型相同 设第n个月后的欠款额为an 则a0 8000 an 1 1 r an 300 n 0 1 2 3 贷款模型a0 8000 an 1 1 0 15 12 an x n 0 1 2 3 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 7 2市场经济中的蛛网模型 问题 供大于求 现象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 描述商品数量与价格的变化规律 数量与价格在振荡 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 蛛网模型 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 消费者的需求关系 生产者的供应关系 减函数 增函数 f与g的交点P0 x0 y0 平衡点 一旦xk x0 则yk y0 xk 1 xk 2 x0 yk 1 yk 2 y0 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 设x1偏离x0 x1 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 曲线斜率 蛛网模型 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方程模型 方程模型与蛛网模型的一致 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 商品数量减少1单位 价格上涨幅度 价格上涨1单位 下时段 供应的增量 考察 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度 小 有利于经济稳定 小 有利于经济稳定 结果解释 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 结果解释 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 经济不稳定时政府的干预办法 1 使 尽量小 如 0 以行政手段控制价格不变 2 使 尽量小 如 0 靠经济实力控制数量不变 结果解释 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量 生产者管理水平提高 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定 即k xk x0的条件 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 方程通解 c1 c2由初始条件确定 1 2 特征根 即方程的根 平衡点稳定 即k xk x0的条件 平衡点稳定条件 比原来的条件放宽了 模型的推广 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 1 问题的分析 由于公鹿和母鹿的比例大致相等 所以在此仅考虑母鹿的增长 鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切相关 因为鹿的生育周期为一年 即一岁以上的母鹿可以生育 所以我们把母鹿分为两组 一岁以下的为幼鹿 其余的为成年鹿 根据这样的分组 一年以后存活的幼鹿都为成年鹿 而这一年中出生的鹿构成新的幼鹿 从以上的分析 我们可把观测的时间间隔取为一年 2 模型假设 动物的数量足够大 故可以用连续的方法来度量 只考虑母鹿 并将其分为两组 一岁以下为幼鹿组 其余为成年鹿组 7 3简单的鹿群增长问题 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 把时间离散化 每年观测一次 即环境因素 生育 死亡方式等每年重复发生 不考虑饱和状态 即在所考虑的时间段内 种群的增长几乎不受自然资源的制约 疾病是死亡的主要原因 鹿的死亡数与鹿的总数成正比 鹿的生育数与鹿的总数成正比 3 模型的建立与求解 分别以 和 表示第n年幼鹿和成年鹿的数量 一年后 幼鹿存活的数量与 之比叫做幼鹿的存活率 由假设 每年的存活率是一常数 分别以 和 表示幼鹿和成年鹿的存活率 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁 因而有生育能力 根据假设 生育率也是常数 分别以 和 表示幼鹿和成年鹿的生育率 假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s 一年以后 原来的幼鹿可生育幼鹿数为 成年鹿可生育的幼鹿数为 由于哺乳期的新生幼鹿的存活率为s 所以一年以后新的幼鹿数 7 2 1 一年以后 原来的幼鹿存活数为 原来的成年鹿的存活数为 所以新的成年鹿的数目是 7 2 2 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 7 2 1 7 2 2 联立起来 即得下面的线性差分方程组 7 2 3 或用矩阵表示为 7 2 4 这是一个一步方程 令 A 则 7 2 4 式可表示为 7 2 5 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 于是可推出 或 n 7 2 6 如果知道开始时幼鹿数量 和成年鹿的数量 由 7 2 6 可算出第n年的鹿的总数 为了给出解的一般表达式 先把矩阵A对角化 令 0 即 得特征方程 7 2 7 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 其判别式为 由于s 都是大于零的 所以判别式 0 和 矩阵A可以对角化 特征方程 7 2 7 有两个相异的实根 这保证了 对于特征根 从下面的线性方程组 可解得特征向量 同理可解得对应于特征根 的特征向量 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 所以可得矩阵P 使得 A 即 于是得 将上式代入 7 2 6 式 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 记 7 2 8 所以 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 由此可得 n 故解得 7 2 9 现在利用公式 7 2 9 对下面的一组数据 0 8 千头 0 3 0 62s 0 8 1 千头 1 5 0 75 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 计算今后6年鹿的总数 为此 将以上数据代入 7 2 7 解得 将数据代入 7 2 8 得 最后由 7 2 9 得 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 4 模型评价 该模型的假设中 没有考虑资源的制约 所以当鹿群的增长接近饱和状态时 该模型失效 如果考虑自然资源的制约 则模型假设中的第 条不成立 这时生育率与食物的获取有关 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 7 4减肥计划 节食与运动 背景 多数减肥食品达不到减肥目标 或不能维持 通过控制饮食和适当的运动 在不伤害身体的前提下 达到减轻体重并维持下去的目标 分析 体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食 吸收热量 引起体重增加 代谢和运动 消耗热量 引起体重减少 体重指数BMI w kg l2 m2 18 525 超重 BMI 30 肥胖 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 模型假设 1 体重增加正比于吸收的热量 每8000千卡增加体重1千克 2 代谢引起的体重减少正比于体重 每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡 因人而异 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡 3 运动引起的体重减少正比于体重 且与运动形式有关 4 为了安全与健康 每周体重减少不宜超过1 5千克 每周吸收热量不要小于10000千卡 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 某甲体重100千克 目前每周吸收20000千卡热量 体重维持不变 现欲减肥至75千克 第一阶段 每周减肥1千克 每周吸收热量逐渐减少 直至达到下限 10000千卡 第二阶段 每周吸收热量保持下限 减肥达到目标 2 若要加快进程 第二阶段增加运动 试安排计划 1 在不运动的情况下安排一个两阶段计划 减肥计划 3 给出达到目标后维持体重的方案 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 确定某甲的代谢消耗系数 即每周每千克体重消耗20000 100 200千卡 基本模型 w k 第k周 末 体重 c k 第k周吸收热量 代谢消耗系数 因人而异 1 不运动情况的两阶段减肥计划 每周吸收20000千卡w 100千克不变 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 第一阶段 w k 每周减1千克 c k 减至下限10000千卡 第一阶段10周 每周减1千克 第10周末体重90千克 吸收热量为 1 不运动情况的两阶段减肥计划 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 第二阶段 每周c k 保持Cm w k 减至75千克 1 不运动情况的两阶段减肥计划 基本模型 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 第二阶段 每周c k 保持Cm w k 减至75千克 第二阶段19周 每周吸收热量保持10000千卡 体重按减少至75千克 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 运动 t 24 每周跳舞8小时或自行车10小时 14周即可 2 第二阶段增加运动的减肥计划 t 每周运动时间 小时 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 3 达到目标体重75千克后维持不变的方案 每周吸收热量c k 保持某常数C 使体重w不变 不运动 运动 内容同前 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 7 3差分形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型 Logistic模型 t x N x N是稳定平衡点 与r大小无关 离散形式 x t 某种群t时刻的数量 人口 yk 某种群第k代的数量 人口 若yk N 则yk 1 yk 2 N 讨论平衡点的稳定性 即k yk N y N是平衡点 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 一阶 非线性 差分方程 1 的平衡点y N 讨论x 的稳定性 变量代换 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 1 的平衡点x 代数方程x f x 的根 稳定性判断 1 的近似线性方程 x 也是 2 的平衡点 x 是 2 和 1 的稳定平衡点 x 是 2 和 1 的不稳定平衡点 补充知识 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 的平衡点及其稳定性 平衡点 稳定性 另一平衡点为x 0 不稳定 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 的平衡点及其稳定性 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 初值x0 0 2 数值计算结果 b 3 x b 3 3 x 两个极限点 b 3 45 x 4个极限点 b 3 55 x 8个极限点 重庆邮电大学市级精品课程 数学建模 倍周期