小波变换知识总结.docx

变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来。变换的本质就是在搞基。向量空间中的每一个向量都是向量基的线性组合，即把一些常数与向量基相乘，然后计算点积。对信号的分析就包括计算这些常数（变换系数、傅里叶系数、小波系数）。合成或者说重构就是计算线性组合方程。N维空间的向量基中有N个向量。平稳信号中的频率分量一直保持不变。区别于非平稳信号。傅里叶变换（FT）： 傅里叶变换后的频谱图上出现毛毛刺，是因为信号中的频率突变引起的。傅里叶变换仅仅给出了信号的频率分量，却没有给出这些频率分量出现的时间（傅里叶变换无任何时间分辨率）。因此对于非平稳信号，傅里叶变换是不合适的。当且仅当我们仅仅关心非平稳信号中的频率分量而不关心其出现的时间，傅里叶变换才可用于处理非平稳信号。根据不确定性原理（测不准原理）：（1）在任意一个时间点，我们不能确定哪个频率分量存在；我们能做到的是在一个给定的时间段内确定哪个频率分量存在；（2）在时频分析中，要想取得高的时间分辨率就必须牺牲频率分辨率，反之亦然。高频信号在时间域内更易处理，而低频信号在频率域内更易处理。傅里叶变换： 公式中的指数项还可写成：所以我们实际要做的就是用一些复数表达式叠加出原始信号，这些复数表达式包含了频率的正弦和余弦部分。然后对乘积积分。如果积分结果值很大，说明信号在该频率处有一个大的频谱分量。傅里叶变换是二维的，如果再加上幅度就是三维的。 图中以“尺度”为标签的轴代表频率，尺度越大频率越低，因此，图中的小尖峰反映了信号中的高频分量；大尖峰则反映了信号中的低频分量。高频信号的尺度分辨率很高，高尺度分辨率对应低频率分辨率。 这是一个无限循环的函数。1，cosx, sinx, cos2x .就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是这些function basis（函数基）是正交的。即两个函数的内积为0：=0。信号f(x)是已知的，傅立叶级数是已知的，我们怎么求a1呢？很简单，把方程两端的所有部分都与cosx的内积，即：然后我们发现，因为正交的性质，右边所有非a1项全部消失了，因为他们和cosx的内积都是0！所有就简化为傅立叶变换就是用一系列三角波来表示信号方程的展开，这个信号可以是连续的，可以是离散的。傅立叶所用的function basis是专门挑选的，是正交的，是利于计算coefficients的。但千万别误解为展开变换所用的basis都是正交的，这完全取决于具体的使用需求，比如泰勒展开的basis就只是简单的非正交多项式。短时傅里叶变换（STFT）：假定非平稳信号在一段时间内是平稳的短时傅里叶变换（也叫加窗傅里叶变换）和傅里叶变换只有一个微小的不同，就是在短时傅里叶变换中，信号被划分成足够小的片段，这些片段中的信号可以看成平稳信号，基于这个原因，就需要一个窗函数，窗的宽度必须和信号片段的宽度相等，这样它的平稳性才有效。这个窗函数位于信号的最前端，即窗函数必须时刻存在。表示f和的函数： ，其中表示对 取共轭（对一个复值函数：z(x)=a(x)+jb(x)，其中a(x)和b(x)都是实值函数，那么z(x)的共轭为：z*(x)=a(x) - jb(x)）。（1）短时傅里叶变换和傅里叶变换一样，图像以频率坐标轴的中线为对称轴。（2）STFT的时间分辨率完全由窗口（t）的支撑长度决定，窗口（的支撑长度）越短，时间分辨率越高，频率分辨率越低。当其支撑集覆盖整个时间轴时，STFT就蜕变为FT。当窗口函数选为Gaussian高斯函数时，时、频窗口宽度之积达到最小，这也是时频分析中经常使用Gaussian函数的原因。短时傅里叶变换的缺陷：（1）又可以归结到海森堡的不确定性原理（测不准原理）上：在任意一个时间点，我们不能确定哪个频率分量存在。这是一个有关分辨率的问题。（2）窗口越短，时间分辨率越高，频率分辨率越低。选窗函数又是个问题。STFT在变换过程中采用固定的窗口，一旦选定窗函数，相应的时间分辨率就确定了。（3）STFT无论如何离散化其变换核(t)eit，都无法得到一组正交基，这就大大的降低了其实用性。 小波变换小波框架，在某些场合又被称为小波基。小波分析常被业界称为“数学显微镜”,这是因为：当它在高频时，有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率；反之，在低频时，有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率（高频高时、低频低时）。这种“变焦”特性，使得小波变换对非平稳信号具有很强的自适应性。多分辨率分析被用来处理在高频信号中获得较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，在低频信号中获得较高的频率分辨率 较低的时间分辨率。这个方法在处理高频信号持续时间较短，低频信号持续时间较长时才有用。幸运的是，实际中大多数信号都满足这一点，高频信号经常以一种短时突变或尖峰的形式出现。与短时傅里叶变换相同，小波变换也是用一个窗函数与信号相乘，这个函数就是（变换核）小波函数，变换结果被分成在时域内的不同片段。小波变换与短时傅里叶变换主要的不同点：（1）短时傅里叶变换没有采用加窗的方式，因此会在变换结果中看到相应正弦信号的尖峰，因此结果中没有负频率；（2）（变换核）小波函数的不同；（3）小波变换为计算单一的频谱分量，需要将窗口宽度改变，这可能是其最重要的特征。 小波能够重构的容许性条件（也即(t)为小波母函数的必要条件）：（1）其中， 是(t)的傅里叶变换。上式表明=0，即：（2）满足式（2）条件小波母函数(t)必须是震荡的，式（2）并不是一个很苛刻的条件。连续小波变换（CWT）定义如下：逆连续小波变换：其中，C为与所用小波有关的常数，称为容许性常数。连续小波变换的定义说明了小波分析就是用来测量基本函数（即小波函数(t)）与信号本身的相似性。这里的相似是指相似的频率分量。计算出来的连续小波变换系数说明了在当前尺度下原始信号与小波信号的相似程度。小波变换是两个自变量和s的函数，和s分别为平移和缩放参数，s1时是放大信号；s0，是收缩的并且用较小的步子平移，它提供的信息较详细；当j=j0上的wavelets得到的。这样，基于这个orthonormal basis，所有信号空间中的信号都可以写成组成这个basis的functions的线性组合：对应的系数的计算和平常一样：（1） （2） 这就是最终的，也是最核心的，小波变换形式。小波变换的基础流程： 1. 选取合适的wavelet function和scaling function，从已有的信号中，反算出系数c和d；2. 对系数做对应处理；3. 从处理后的系数中重新构建信号。这里的系数处理是区别你的应用的重点。比如图像或者视频压缩，就希望选取能将能量聚集到很小一部分系数中的小波，然后抛弃那些能量很小的小波系数，只保留少数的这些大头系数，再反变换回去。这样的话，图像信号的能量并没有怎么丢失，图像体积却大大减小了。 还有一个没有解释的问题是，为什么要强调尺度函数和小波函数组成一个orthonormal basis呢？计算方便是一方面，还有一个原因是，如果他们满足这个性质，就满足瑞利能量定理：信号的能量可以完全用每个频域里面的展开部分的能量，也就是他们的展开系数来表示：结束之前，再多说几句小波变换的意义。我们拿刚才例子中V3子空间的第二种可选择的orthonormal basis作为例子：左边这四个basis组成元素，也就是scaling functions的系数，表征的是信号的local平均（想想它们和信号的内积形式），而右边的这四个basis组成元素，也就是wavelet functions的系数，则表征在local平均中丢失的信号细节。得益于此，多解析度分析能够对信号在越来越宽的区域上取平均，等同于做低通滤波，而且，它还能保留因为平均而损失的信号细节，等同于做高通滤波！这样，我们终于可以解释了wavelet function和scaling function背后的物理意义了：scaling function等同于对信号做低通滤波保留平滑的shape，而wavelet function等同于对信号做高通滤波保留变化细节！下面这附图就是某种小波的示意图：从这里看出，这里的缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。这样的好处是小波的basis函数既有高频又有低频，同时还覆盖了时域。小波展开的形式通常都是这样（注意，这个只是近似表达）：（可以理解k为上图纵坐标的1,2,3 j为上图横坐标的1,2,3，8）其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基。和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis,nm()l，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。小波级数通常有很多种，但是都符合下面这些特性：1. 小波变换对不管是一维还是高维的大部分信号都能cover很好。这个和傅立叶级数有很大区别。后者最擅长的是把一维的，类三角波连续变量函数信号映射到一维系数序列上，但对于突变信号或任何高维的非三角波信号则几乎无能为力。2. 围绕小波级数的展开能够在时域和频域上同时定位信号，也就是说，信号的大部分能量都能由非常少的展开系数，比如a_j,k。这个特性是得益于小波变换是二维变换，能定位时域和频域，计算很快。我们从两者展开的表达式就可以看出来，傅立叶级数是，而小波级数是。3. 从信号算出展开系数a需要很方便。普遍情况下，小波变换的复杂度是O(Nlog(N)，和FFT相当。有不少很快的变换甚至可以达到O(N)，也就是 说，计算复杂度和信号长度是线性的关系。小波变换的等式定义，可以没有积分，没有微分，仅仅是乘法和加法即可以做到，和现代计算机的计算指令完全 match。看这个信号：简单说，就是在前一个直流信号上，增加了一个突变。傅立叶展开后所有的傅立叶级数都为非0了！为什么？因为傅立叶必须用三角波来展开信号，对于这种变换突然而剧烈的信号来讲，即使只有一小段变换，傅立叶也不得不用大量的三角波去拟合，就像这样：看看上面这个图。这就是Gibbs现象，Gibbs现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛所引起的，即使在N趋于无穷大时，这一现象也依然存在。其实通俗一点解释，就是当变化太sharp的时候，三角波fit不过来了，就凑合出Gibbs了。而小波展开之后是这样的：看见了么？只要小波basis不和这个信号变化重叠，它所对应的级数系数都为0！也就是说，假如我们就用这个三级小波对此信号展开，那么只有3个级数系数不为0 。你可以使用更复杂的小波，不管什么小波，大部分级数系数都会是0。原因？由于小波basis的特殊性，任何小波和常量函数的内积都趋近于0。换句话说，选小波的时候，就需要保证母小波在一个周期的积分趋近于0。正是这个有趣的性质，让小波变换的计算以及对信号的诠释比傅立叶变换更胜一筹！原因在于小波变换允许更加精确的局部描述以及信号特征的分离。一个傅立叶系数通常表示某个贯穿整个时间域的信号分量，因此即使是临时的信号，其特征也被强扯到了整个时间周期去描述。而小波展开的系数则代表了对应分量它当下的自己，因此非常容易诠释。总结来说，傅立叶变换适合周期性的，统计特性不随时间变化的信号；而小波变换则适用于大部分信号，尤其是瞬时信号。它针对绝大部分