1–3函数的概念.doc

13函数的概念基础知识导学1函数的概念(1) 函数的定义定义1 设和是两个变量,是一个给定的数集,如果对于每个数,变量按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称是的函数,记作.数集称为该函数的定义域, 称为自变量, 称为因变量.当自变量取数值时，因变量按照法则所取定的数值称为函数在点处的函数值，记作.当自变量遍取定义域的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集=称为函数的值域.定义2 设与是两个非空实数集，如果存在一个对应规则，使得对中任何一个实数，在中都有惟一确定的实数与对应，则对应规则称为在上的函数，记为 ,称为对应的函数值，记为,其中，称为自变量，称为因变量.由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数中，表示函数，是对应于自变量的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在处的函数值称为函数，并用的形式表示是的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则.例如就是一个特定的函数，确定的对应规则为就是一个函数(2) 函数的两要素函数的定义域是自变量的取值范围，而函数值又是由对应规则来确定的，所以函数实质上是由其定义域和对应规则所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如，就是相同的函数.（3）反函数的定义函数，D的值域为，若映射：是一一映射则由它的逆映射：所给出的函数=，称为函数，D的反函数。2 函数的三种表示方法(1) 图像法 用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观性强并可观察函数的变化趋势,但根据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于作理论研究.(2) 表格法 将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表示方法,简称表格法. 这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于作理论研究.(3) 公式法用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为解析法. 这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得直观.在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： 分段函数 在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如 就是一个定义在区间上的分段函数. 用参数方程确定的函数 用参数方程 （）表示的变量与之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数可以用参数方程表示. 隐函数 如果在方程中，当在某区间I内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的惟一的值存在，则称方程在区间I内确定了一个隐函数.例如方程就确定了变量是变量之间的函数关系注意 能表示成(其中仅为的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如可以化成显函数.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如.重点难点突破1、 关于函数概念（1） 在理解函数的定义时抓住定义域：自变量的变化范围D对应规律：因变量与自变量的对应规律（对应法则或对应关系）f ：值域：因变量的取值范围f(D)因为是随着、的确定而完全确定，所以定义域和对应法则是确定函数的两要素。例如：，由于定义域是空集，因此它不表示函数关系。对于对应规律f，一般要求一个x有唯一确定的y与之对应，即给一个x只有一个y值与之对应，这样的函数称为单值函数。这也是我们主要讨论的函数。例如：y=x2,与y=4对应的x值有x1=2，x2=2两个值 y=sin2x+cos2x，对于，都只对应于1以上两例都是满足函数定义要求的。如果有两个或两个以上的y值与x对应，称为多值函数。（2）判断两个函数相等，必须满足以下条件： 两个函数的定义域相同 对应法则相同以上两条只要有一条不满足，两个函数就是不同的函数。例如：与是不同的函数，因为的定义域是而的定义域是。 与是两个相同的函数，虽然字母不同，但定义域和对应法则完全相同，因此是相同的函数（3）在函数的定义中，对函数的表示方式没有任何限制，（4）注意f (x)和f (x0)的不同。f (x)是函数记号，表示一个变量， f (x0)是函数值记号，表示函数在x = x0处的值，表示一个数2、 关于求函数的定义域在微积分中，所讨论的量（常量和变量）一般都限制在实数范围内，自变量与应变量都只能取实数值。求函数的定义域，就是在实数范围内求使函数表达式有意义的自变量的取值范围。求函数的定义域时，应注意以下几点：（1） 分式函数的分母不能为零；（2） 偶次根式内的量不能为负值；（3） 对数符号内的量必须取正值；（4） 正切函数中，；（5） 反正弦、反余弦中；（6） 函数的表达式是由有限项通过四则运算组成的。可先分别求出参加运算的各个函数的定义域，然后取它们的交集（即取它们的公共部分）。（7） 对于分段函数，可取各个段的定义域的并集。（8） 对于复合函数，自变量的取值不仅使中间变量有意义，还必须使与中间变量有关的所有的函数有意义。3、 关于反函数（1） 对于函数的反函数概念的理解 设函数的定义域为Df，值域为Rf，如果对于每一个值yRf,由关系可确定唯一值xDf，则得到一个以y为自变量，x为因变量的函数，记作：，称为函数的反函数。 一般习惯上把x作为自变量，把y作为因变量，因此，把反函数改写成 函数与反函数的图形是同一条曲线； 函数与反函数的图形在同一坐标系中关于直线对称（2） 求函数的反函数的步骤： 解出x，得（要求单值，否则认为此函数在其定义域内无反函数） 将字母x、y交换位置，得反函数反函数的定义域、值域分别是给定函数的值域、定义域。解题方法指导1求函数定义域的方法例1 求下列函数的定义域:(1) =+ ，(2) =.解 (1) 由所给函数知,要使函数有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 推得这两个不等式的公共解为 与所以函数的定义域为.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必