阴阳调和---探讨农历的奥秘.doc

陰陽調和-探討農曆的奧秘 一、 摘要本研究主要在探討農曆在經過幾年要置閏，是否有一定的規律，過程是收集近百年的數據，整理後加以觀察，找出其規律。再研究天文方面的置閏規則，找出較好的置閏法，最後將兩者做比較統整。在生活上則引入探討幾年後農曆的生日會和國曆的生日在同一天的問題。二、 研究動機古代人們從事農牧，出入作息，耕耘收穫均和時間季節有關，由於日月星晨運行有規則週期性，而如何安排年月日之長短次序關係，就是編製曆法。農曆始於夏代，流傳至今仍受到大家的重視，但是一般人對於農曆的大小月、閏年規則卻不是很了解。因此我們在這此的科展研究這個主題，讓大家對農曆有更深的了解。而在數學課本第六冊2-1中談到資料整理的部分，與我們的主題有密切的關係。三、 研究目的1. 找出農曆閏月規則。2. 找出比現行閏月規則更好的閏月規則。3. 農曆的19年7閏的閏月規則是否需要調整？4. 找尋農曆大、小月分佈的規則。5. 研究一個人的生日經過幾年後農曆生日會和國曆生日在同一天。四、 研究設備及器材電腦一部、電子計算機一部、筆和記錄紙五、 研究過程或方法1. 藉由觀察近百年的閏年關係，找尋農曆閏年的規則。根據觀察1931 2050年閏年的分佈(表一)，發現農曆閏年有一定的規則，每19年會有7個閏年，而每19年中的閏年分佈皆為每2 或3年會有一個閏年，自1931 1949的19年閏年分佈為第3、6、8、11、14、17、19年有一個閏年，其後的每19年的閏年分佈皆為第3、6、8、11、14、17、19年有一個閏年，有一定的規律。唯一例外為依規律原本1985年應為閏年，卻提早到1984年，提早一年。平閏年年平1931195019691988200720262045平1932195119701989200820272046閏1933195219711990200920282047平1934195319721991201020292048平1935195419731992201120302049閏1936195519741993201220312050平193719561975199420132032閏193819571976199520142033平193919581977199620152034平194019591978199720162035閏194119601979199820172036平194219611980199920182037平194319621981200020192038閏194419631982200120202039平194519641983200220212040平194619651985200320222041閏194719661984200420232042平194819671986200520242043閏194919681987200620252044(表一)2. 為何農曆的閏月規則為19年7閏？ 我國傳統的農曆為陰陽合曆，希望能同時對月亮和太陽在天空中的運動有所掌握，其中定義月和日的部分，屬於陰曆；而定義年、季節的部分，則屬陽曆。由於月亮從朔到朔或從望到望的週期(朔望月)，平均為29.5306日，不是一個整數值，故農曆中為了使用上的方便，就把一個月的長度折衷分為兩類：大月30日，小月29日。這樣，即可透過大月和小月的相互彌補，使每個月的平均長度接近朔望月。至於太陽在黃道上的運動，從冬至到冬至的平均週期(回歸年)是365.2422 ，這個數目比十二個朔望月的總日數多，但卻又少於十三個朔望月，故農曆定義一年為十二個月。然而十二個完整的月(如果大、小月參半的話)約為354天，較一回歸年少了11天左右。如果讓陽曆和陰曆依此一情形各自排列下去，那麼就有可能出現在夏季過新年的不合常理的狀況。 12 29.5306 = 354.3672 365.2422 354.3672 = 10.8750 11 一年相差約11日 16 10.8750 = 174經過16年約相差6個月 若原本陰曆的元旦定在春季，經過16年陰曆的元旦會提前到夏季。因此為使四時與月序維持固定，並令陰曆某月某日對應於陽曆的日序亦不致越差越大，必須要置閏。要如何決定多久置一個閏月？首先我們希望m個回歸年的天數與n個朔望月的天數相等。即我們要找出一最小的 ( m , n ) 整數組合，滿足下面等式：回歸年 m = 朔望月 n 365.2422 m = 29.5306 nn m 12.36826固定m1,2,3 正整數 ，利用軟體Excel求出對應的值如表二m12345678n12.3682624.7365237.1047949.4730561.8413174.2095786.5778398.9461m910111213141516n111.3144123.6826136.0509148.4191160.7874173.1557185.5239197.8922m1718192021222324n210.2605222.6287234.997247.3652259.7335272.1018284.47296.8383m2526272829303132n309.2066321.5748333.9431346.3113358.6796371.0479383.4161395.7844m3334353637383940n408.1526420.5209432.8892445.2574457.6257469.9940482.3622494.7305m4142434445464748n507.0987519.4670531.8353544.2035556.5718568.9401581.3083593.6766 ( 表二 )根據表二，可看出當m=19時，n 234.997 235，誤差值約為0.003，比其它對應n和最接近整數的誤差都來的小。所以( m , n ) = (19 , 235 )是一個相當好的近似值，也就是說在19個回歸年當中，原本包含有228個農曆月，比235個朔望月少了7個月，故我們在19年中加入7個額外的月(閏月)，使農曆中陰曆和陽曆的對應較為和諧。 191222819年不閏共228個月 235228719年中需加入7個閏月19 365.2422 = 6939.60183. 試著找出比現行閏月規則更好的方法。(使誤差值更小) m12345678n12.368324.736537.104849.473061.841374.209686.577898.9461m910111213141516n111.3144123.6826136.0509148.4191160.7874173.1557185.5239197.8922m1718192021222324n210.2605222.6287234.9970247.3652259.7335272.1018284.4700296.8383m2526272829303132n309.2066321.5748333.9431346.3113358.6796371.0479383.4161395.7844m3334353637383940n408.1526420.5209432.8892445.2574457.6257469.9940482.3622494.7305m4142434445464748n507.0987519.4670531.8353544.2035556.5718568.9401581.3083593.6766m4950515253545556n606.0448618.4131630.7814643.1496655.5179667.8862680.2544692.6227m5758596061626364n704.9909717.3592729.7275742.0957754.4640766.8322779.2005791.5688m6566676869707172n803.9370816.3053828.6736841.0418853.4101865.7783878.1466890.5149m7374757677787980n902.8831915.2514927.6197939.9879952.3562964.7244977.0927989.4610m8182838485868788n1001.82921014.19751026.56581038.93401051.30231063.67051076.03881088.4071m8990919293949596n1100.77531113.14361125.51181137.88011150.24841162.61661174.98491187.3532 ( 表三 )根據表三可以發現m=11、30、49、68、87，所對應的n值和最接近的整數差越來越小。而且這些數為公差為19的等差數列，所以我們推測繼續往下找可以找到數對 ( m , n ) 比 ( 19 , 235 )誤差更小。m87106125144163182201220n1076.03881311.03581546.03281781.02972016.02672251.02372486.02072721.0177m239258277296315334353372n2956.01463191.01163426.00863661.00563896.00264130.99954365.99654600.9935 ( 表四 )朔望月29.5306回歸年365.2422 回歸年朔望月12.3683365.2422m 29.5306nm12345678n12.368324.736537.104849.473061.841374.209686.577898.9461m910111213141516n111.3144123.6826136.0509148.4191160.7874173.1557185.5239197.8922m1718192021222324n210.2605222.6287234.9970247.3652259.7335272.1018284.4700296.8383m2526272829303132n309.2066321.5748333.9431346.3113358.6796371.0479383.4161395.7844m3334353637383940n408.1526420.5209432.8892445.2574457.6257469.9940482.3622494.7305m4142434445464748n507.0987519.4670531.8353544.2035556.5718568.9401581.3083593.6766m4950515253545556n606.0448618.4131630.7814643.1496655.5179667.8862680.2544692.6227m5758596061626364n704.9909717.3592729.7275742.0957754.4640766.8322779.2005791.5688m6566676869707172n803.9370816.3053828.6736841.0418853.4101865.7783878.1466890.5149m7374757677787980n902.8831915.2514927.6197939.9879952.3562964.7244977.0927989.4610m8182838485868788n1001.82921014.19751026.56581038.93401051.30231063.67051076.03881088.4071m8990919293949596n1100.77531113.14361125.51181137.88011150.24841162.61661174.98491187.3532m979899100101102103104n1199.72141212.08971224.45791236.82621249.19451261.56271273.93101286.2993m105106107108109110111112n1298.66751311.03581323.40401335.77231348.14061360.50881372.87711385.2454m113114115116117118119120n1397.61361409.98191422.35011434.71841447.08671459.45491471.82321484.1914m121122123124125126127128n1496.55971508.92801521.29621533.66451546.03281558.40101570.76931583.1375m129130131132133134135136n1595.50581607.87411620.24231632.61061644.97891657.34711669.71541682.0836m137138139140141142143144n1694.45191706.82021719.18841731.55671743.92501756.29321768.66151781.0297m145146147148149150151152n1793.39801805.76631818.13451830.50281842.87101855.23931867.60761879.9758m153154155156157158159160n1892.34411904.71241917.08061929.44891941.81711954.18541966.55371978.9219m161162163164165166167168n1991.29022003.65852016.02672028.39502040.76322053.13152065.49982077.8680m169170171172173174175176n2090.23632102.60462114.97282127.34112139.70932152.07762164.44592176.8141m177178179180181182183184n2189.18242201.55062213.91892226.28722238.65542251.02372263.39202275.7602m185186187188189190191192n2288.12852300.49672312.86502325.23332337.60152349.96982362.33812374.7063m193194195196197198199200n2387.07462399.44282411.81112424.17942436.54762448.91592461.28422473.6524m201202203204205206207208n2486.02072498.38892510.75722523.12552535.49372547.86202560.23022572.5985m209210211212213214215216n2584.96682597.33502609.70332622.07162634.43982646.80812659.17632671.5446m217218219220221222223224n2683.91292696.28112708.64942721.01772733.38592745.75422758.12242770.4907m225226227228229230231232n2782.85902795.22722807.59552819.96382832.33202844.70032857.06852869.4368m233234235236237238239240n2881.80512894.17332906.54162918.90982931.27812943.64642956.01462968.3829m241242243244245246247248n2980.75122993.11943005.48773017.85593030.22423042.59253054.96073067.3290m249250251252253254255256n3079.69733092.06553104.43383116.80203129.17033141.53863153.90683166.2751m257258259260261262263264n3178.64343191.01163203.37993215.74813228.11643240.48473252.85293265.2212m265266267268269270271272n3277.58943289.95773302.32603314.69423327.06253339.43083351.79903364.1673m273274275276277278279280n3376.53553388.90383401.27213413.64033426.00863438.37693450.74513463.1134m281282283284285286287288n3475.48163487.84993500.21823512.58643524.95473537.32303549.69123562.0595m289290291292293294295296n3574.42773586.79603599.16433611.53253623.90083636.26903648.63733661.0056m297298299300301302303304n3673.37383685.74213698.11043710.47863722.84693735.21513747.58343759.9517m305306307308309310311312n3772.31993784.68823797.05653809.42473821.79303834.16123846.52953858.8978m313314315316317318319320n3871.26603883.63433896.00263908.37083920.73913933.10733945.47563957.8439m321322323324325326327328n3970.21213982.58043994.94864007.31694019.68524032.05344044.42174056.7900m329330331332333334335336n4069.15824081.52654093.89474106.26304118.63134130.99954143.36784155.7361m337338339340341342343344n4168.10434180.47264192.84084205.20914217.57744229.94564242.31394254.6822m345346347348349350351352n4267.05044279.41874291.78694304.15524316.52354328.89174341.26004353.6283m353354355356357358359360n4365.99654378.36484390.73304403.10134415.46964427.83784440.20614452.5743m361362363364365366367368n4464.94264477.31094489.67914502.04744514.41574526.78394539.15224551.5204m369370371372373374375376n4563.88874576.25704588.62524600.99354613.36184625.73004638.09834650.4665 (表五)為了數學的嚴謹性，進一步求出m=1376 所對應的n值 (表五)，由表五可看出 ( m , n ) ( 334 , 4131 )為其中最好的一組整數解。334 365.2422 = 121990.89484131 29.5306 = 121990.9086 121990.9086121990.8948 = 0.0138 0.0892 4131334 12 =123由表四及上式，可發現 (m ,n ) = ( 334 , 4131 ) 的誤差值0.0138日 比 ( 19 , 235 ) 的誤差值0.0892日更小。即334年有123個閏月，誤差值約19分52秒，比19年7閏的誤差值約2小時8分2秒小。4. 農曆的19年7閏的閏月規則是否需要調整？我們將收集多一點數據從1798 2310年的閏年情形，整理並製成表六、表七、表八，透過這三個表格可以很明顯的看出來在表六中的閏年是第3、6、8、11、14、16、19年為一閏，但表七中從1893起為第3、6、8、11、14、17、19年為一閏，表八中從2254年起轉為第3、6、9、11、14、17、19年為一閏。從1798 2310年間的閏月規則在1909年和2261年其閏月規則有所調整，其間經過了353年。即在經過334年的後19年進行調整。我們在上一個主題討論比19年7閏更好的閏月規則，當中找出的334年123閏比19年7閏更好，所以農曆的閏月規則以19年為一個單位，19年當中基本上以3年為一個單位，但有二個2年一閏，有順序關係。18932253年間3、3、2、3、3、3、2年為一閏，而這樣的順序，經過334年的後19年要加以調整( 353年)，調整之後的19年又維持一定的順序，2254起每個19年為3、3、3、2、3、3、2年為一閏。平17981817183618551874平17991818183718561875閏18001819183818571876平18011820183918581877平18021821184018591878閏18031822184118601879平18041823184218611880閏18051824184318621881平18061825184418631882平18071826184518641883閏18081827184618651884平18091828184718661885平18101829184818671886閏18111830184918681887平18121831185018691888閏18131832185118701889平18141833185218711890平18151834185318721891閏18161835185418731892 (表六)平1893191219311950196919882007202620452064平1894191319321951197019892008202720462065閏1895191419331952197119902009202820472066平1896191519341953197219912010202920482067平1897191619351954197319922011203020492068閏1898191719361955197419932012203120502069平1899191819371956197519942013203220512070閏1900191919381957197619952014203320522071平1901192019391958197719962015203420532072平1902192119401959197819972016203520542073閏1903192219411960197919982017203620552074平1904192319421961198019992018203720562075平1905192419431962198120002019203820572076閏1906192519441963198220012020203920582077平1907192619451964198320022021204020592078平1908192719461965198420032022204120602079閏1909192819471966198520042023204220612080平1910192919481967198620052024204320622081閏1911193019491968198720062025204420632082平208321022121214021592178219722162235平208421032122214121602179219822172236閏208521042123214221612180219922182237平208621052124214321622181220022192238平208721062125214421632182220122202239閏208821072126214521642183220222212240平208921082127214621652184220322222241閏209021092128214721662185220422232242平209121102129214821672186220522242243平209221112130214921682187220622252244閏209321122131215021692188220722262245平209421132132215121702189220822272246平209521142133215221712190220922282247閏209621152134215321722191221022292248平209721162135215421732192221122302249平209821172136215521742193221222312250閏209921182137215621752194221322322251平210021192138215721762195221422332252閏21012120(表七)2139215821772196221522342253平225422732292平225522742293閏225622752294平225722762295平225822772296閏225922782297平226022792298平226122802299閏226222812300平226322822301閏226422832302平226522842303平226622852304閏226722862305平226822872306平226922882307閏227022892308平227122902309閏227222912310 (表八)5. 農曆閏月閏幾月如何決定？這個部分在第16屆全國科展己討論過了，詳細結果可參閱第16屆全國科屆數學科第二名農曆的閏月規則。農曆閏哪個月，決定於一年中的二十四個節氣。我國農曆將二十四個節氣分十二個節氣和十二個中氣，排列如下：月份正月二月三月四月五月六月七月八月九月十月十一月十二月節氣立春驚蟄清明立夏芒種小暑立秋白露寒露立冬大雪小寒中氣雨水春分穀雨小滿夏至大暑處暑秋分霜降小雪冬至大寒二十四節氣在農曆中的日期是逐月推遲的。於是有的農曆月份，中氣落在月末，下月個就沒有中氣。一般每過兩年多就有一個沒有中氣的月，這正好和需要加閏月的年頭相符。所以農曆就規定把沒有中氣的那個月作為閏月。6. 觀察19301941年農曆的大、小月分佈，試著找出規則。年分月分193019311932193319341935193619371938193919401941正月小大大小小小大大大大大大二月大大大大大小小小大大大大三月大小大大小大小大小小小小小四月小大小小大小小大小小大大五月小小大大大大大小小大大小大六月大小大小小小小大小小小大小大七月小小大大大大大大小大小小小八月大小小小小大小小小大小小九月小大小大大小大大大小大大十月大小大小大大大大大大小小十一月大大小小小大大大小小大大十二月小小大大大小小小大大小小(表九)註 : 大月30天小月29日1005248根據表八，農曆大小月分佈沒有找出一定的規律，但可能有規則，不過由於太過複雜，現在不討論，留在未來做為另一科展主題的討論。雖在大小月分佈沒有找到規則，但卻發現149個月中有78個大月、71個小月， 相當100個月中約有52個大月，48個小月。而朔望月為29.5306，根據小數部分0.5306可知100個月中約會有53個大月，47個小月，回顧上面所得到的結果，可以加以驗證。29.537. 研究一個人的生日經過幾年後農曆生日會和國曆生日在同一天。座號出生年國曆生日出生年農曆生日前38年國曆生日對應農曆前19年國曆生日對應農曆後19年國曆生日對應農曆後38年國曆生日對應農曆13月3日1月16日1月15日1月15日1月14日1月15日212月6日10月16日10月17日10月17日10月16日10月17日38月26日7月15日7月13日7月14日7月14日7月14日47月20日6月7日6月6日6月7日6月7日6月7日58月25日7月14日7月12日7月13日7月13日7月13日62月23日1月7日1月7日1月7日1月6日1月7日72月14日12月27日12月28日12月28日12月27日12月27日83月13日1月26日1月25日1月25日1月25日1月26日96月7日4月23日4月22日4月23日4月22日4月22日106月3日4月19日4月18日4月19日4月18日4月18日116月27日5月14日5月13日5月13日5月13日5月13日124月27日3月12日3月11日3月11日3月11日3月11日132月25日1月9日1月9日1月9日1月8日1月9日148月10日6月18日6月17日6月18日6月18日6月18日1512月22日11月2日11月3日11月3日11月3日11月3日1611月22日10月2日10月3日10月3日10月2日10月3日1710月18日9月26日9月27日9月27日9月27日9月27日183月13日2月26日2月25日2月25日2月24日2月25日196月15日5月2日5月1日5月1日5月1日5月1日2012月1日10月11日10月12日10月12日10月11日10月12日2111月18日10月27日10月28日10月29日10月28日10月29日223月22日2月5日2月4日2月4日2月5日2月4日236月13日4月29日4月28日4月29日4月28日4月28日242月1日2月14日2月14日2月14日2月15日2月15日254月1日2月15日2月14日2月1