相似矩阵及二次型知识要点.ppt

相似矩阵及二次型知识要点 一 内容提要1 向量的内积 1 定义1设有n维向量x x1 x2 xn T y y1 y2 yn T 令 x y x1y1 x2y2 xnyn称为向量x与y的内积 内积满足下列运算规律 i x y y x ii x y x y iii x y z x z y z 2 定义2 称为n维向量x的长度 或范数 向量长度具有下列性质 i 非负性 当x 0时 x 0 当x 0时 x 0 ii 齐次性 x x iii 三角不等式 x y x y 向量内积满足施瓦茨不等式 x y 2 x x y y 称为n维向量x与y的夹角 当 x y 0时 称向量x与y正交 3 当 x 0 y 0时 4 正交向量组的性质若n维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量组 则 i a1 a2 ar必线性无关 ii 5 定义3设n维向量e1 e2 er是向量空间V V Rn 的一个基 如果e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2 er是V的一个规范正交基 6 施密特 Schmidt 正交化过程从线性无关向量组a1 a2 ar导出与之等价的正交向量组b1 b2 br的过程称为施密特正交化过程 若a1 a2 ar是向量空间 的一组基 通过正交化 单位化 都可以找到与之等价的一组规范正交基e1 e2 er 称为把a1 a2 ar这个基规范正交化 7 定义4若n阶方阵A满足ATA E 即A 1 AT 则称A为正交矩阵 A aij n n为正交矩阵的充要条件是 或 8 定义5若P为正交矩阵 则线性变换y Px称为正交变换 正交变换具有保持向量长度不变的优良性质 2 方阵的特征值与特征向量 1 定义6设A是n阶方阵 如果数 和n维非零列向量x使关系式Ax x成立 那么 数 称为方阵A的特征值 非零列向量x称为A的对应于特征值 的特征向量 A E 0称为方阵A的特征方程 f A E 称为方阵A的特征多项式 n阶方阵A有n个特征值 若A aij 的特征值为 1 2 n 则有 i 1 2 n a11 a22 ann ii 1 2 n A 2 有关特征值的一些结论设 是A aij n n的特征值 则 i 也是AT的特征值 ii k是Ak的特征值 k为任意自然数 是 A 的特征值 其中 a0 a1 am m A a0E a1A amAm iii 当A可逆时 1 是A 1的特征值 A 是A 的特征值 3 有关特征向量的一些结论 i 对应于不同特征值的特征向量是线性无关的 ii 对应于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量 3 相似矩阵 1 定义7设A B都是n阶方阵 若有可逆矩阵P 使P 1AP B 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似 相似关系的性质 i 自反性 矩阵A与自身相似 ii 对称性 若矩阵A与B相似 则矩阵B与A也相似 iii 传递性 若矩阵A与B相似 矩阵B与C相似 则矩阵A与C相似 2 有关相似矩阵的性质 i 若矩阵A与B相似 则A与B的特征多项式相同 从而A与B的特征值亦相同 ii 若矩阵A与 相似 则 1 2 n是A的n个特征值 iii 若A PBP 1 则Ak PBkP 1 A P B P 1 特别地 若有可逆矩阵P 使P 1AP 为对角矩阵 则有Ak P kP 1 A P P 1 3 An n的对角化 i A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 ii 若A有n个互异的特征值 则A与对角矩阵相似 即A可对角化 4 实对称矩阵的相似矩阵 1 实对称矩阵的特征值为实数 2 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交 3 若 是实对称矩阵A的r重特征值 则对应于 的特征向量必有r个 且它们线性无关 4 实对称矩阵必可对角化 即若A为n阶实对称矩阵 则必有正交矩阵P 使得P 1AP 其中 是以A的n个特征值为对角元素的对角矩 阵 5 二次型及其标准形 1 定义8含有n个变量x1 x2 xn的二次齐次函数f x1 x2 xn a11x12 a22x22 annxn2 2a12x1x2 2a13x1x3 2an 1 nxn 1xn称为二次型 二次型可记为f xTAx 其中AT A A称为二次型f的矩阵 f称为对称矩阵A的二次型 对称矩阵A的秩称为二次型f的秩 二次型与它的矩阵是一一对应的 当aij是复数时 f称为复二次型 当aij是实数时 f称为实二次型 我们只讨论实二次型 2 只含平方项的二次型 称为二次型的标准形 或法式 3 化二次型为标准形 i 任给可逆矩阵C 令B CTAC 如果A为对称矩阵 则B亦为对称矩阵 且R B R A ii 任给实二次型 总有正交变换x Py 使f化为标准形f 1y12 2y22 nyn2 其中 1 2 n是f的矩阵A aij n n的特征值 iii 拉格朗日配方法亦可把二次型化为标准形 此时所用的可逆变换一般而言不是正交变换 6 正定二次型 1 定义9设有实二次型f x xTAx 如果对任何x 0 都有f x 0 显然f 0 0 则称f为正定二次型 并称对称矩阵A是正定的 记作A 0 如果对任何x 0都有f x 0 则称f为负定二次型 并称对称矩阵A是负定的 记作A 0 2 惯性定理设有实二次型f xTAx 它的秩为r 有两个实的可逆变换x Cy及x Pz 使得f k1y12 k2y22 kryr2 及f 1y12 2y22 ryr2 则k1 k2 kr中正数的个数p与 1 2 r中正数的个数相等 p称为正惯性指数 r p N称为负惯性指数 s p N 2p r称为f的符号 差 3 正定二次型的判定n阶实对称矩阵A为正定的充要条件有 i p n ii A的特征值全为正 iii A的各阶主子式都为正 即 基本要求1 理解向量的内积 范数 正交矩阵的概念 掌握施密特 Schmidt 正交化方法 2 掌握矩阵的特征值 特征向量的概念 熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法 3 掌握矩阵与对角矩阵相似的充要条件 了解任意实对称矩阵都能对角化 二 基本要求与重点 难点 4 掌握实二次型的矩阵表示法 能熟练地用正交变换 或用非退化线性变换 化实二次型为标准形 5 掌握正定二次型 正定矩阵的概念 能判定正定二次型 重点特征值与特征向量的概念与求法 矩阵与对角矩阵相似的条件及把矩阵化为相似对角矩阵的方法 化二次型为标准形 正定二次型的判定 难点化矩阵为相似对角矩阵的方法 惯性定理 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容