椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程 1 椭圆在宇宙中 2 椭圆在建筑中 3 椭圆在生活中 4 椭圆在自然中 活动 动手实验 1 取一条定长的细绳 2 将它的两端拉开一段距离 分别固定在白纸上 3 套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖一周问 你画出来的是什么图形 思考 1 在画椭圆的过程中 细绳两端的位置是固定的还是运动的 2 在画图的过程中 绳子的长度发生变化了吗 为什么要把绳子拉紧 说明椭圆上的点和两定点间有什么关系 3 如果把两定点间的距离拉大 还能画出椭圆吗 结论 绳长记为2a 两定点间的距离记为2c c 0 1 当2a 2c时 轨迹是 2 当2a 2c时 轨迹是 3 当2a 2c时 椭圆 以F1 F2为端点的线段 无轨迹 二 基础知识讲解 平面上到两个定点的距离的和等于定长2a 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 定点F1 F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距 2c 1 椭圆定义 如图 F1 F2 M O x y F1 F2 M 如图所示 F1 F2为两定点 且 F1F2 2c 求平面内到两定点F1 F2距离之和为定值2a 2a 2c 的动点M的轨迹方程 解 以F1F2所在直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 c 0 c 0 x y 设M x y 为所求轨迹上的任意一点 则椭圆就是集合P M MF1 MF2 2a 如何化简 则焦点F1 F2的坐标分别为 c 0 c 0 问题 求曲线方程的基本步骤 1 建系 2 设点 3 列方程 4 化简 5 下结论 O x y F1 F2 M c 0 c 0 x y 整理 得 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 2a 2c 0 即a c 0 a2 c2 0 两边同除以a2 a2 c2 得 那么 式可化简为 a b 0 归纳 焦点在x轴上的椭圆的标准方程 a b 0 O F1 F2 M c 0 x y 它表示 1 椭圆焦点在x轴上 c 0 3 思考 当椭圆的焦点在y轴上时 它的标准方程式怎样的呢 x y 探究 焦点在y轴上的椭圆的标准方程 它表示 1 椭圆焦点在y轴上 0 c 3 x y a b 0 思考 方程Ax2 By2 C何时表示椭圆 答 A B C同号且A B不相等时 牛刀小试 已知方程 1 若此方程表示的图形为椭圆 则a的取值范围为多少 2 若此方程表示的图形为焦点在x轴上的椭圆 则a的取值范围为多少 3 若此方程表示的图形为焦点在y轴上的椭圆 则a的取值范围为多少 三 应用 5 4 3 3 0 3 0 6 x 例1 已知椭圆方程为则 1 a b c 2 焦点在轴上 其焦点坐标为 焦距为 3 若椭圆方程为 其焦点坐标为 0 3 0 3 例1 已知椭圆方程为 F1 F2 C D 4 已知椭圆上一点P到左焦点F1的距离等于6 则点P到右焦点的距离是 5 若CD为过左焦点F1的弦 则 CF1F2的周长为 F2CD的周长为 4 16 20 例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 求它的标准方程 解法一 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以 又因为 所以 因此 所求椭圆的标准方程为 例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 求它的标准方程 解法二 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 联立 因此 所求椭圆的标准方程为 求椭圆标准方程的解题步骤 1 确定焦点的位置 2 设出椭圆的标准方程 3 用待定系数法确