Hamilton力学的辛算法.ppt

1 Hamilton力学的辛算法和分子动力学模拟 陈敏伯中国科学院上海有机化学有机所计算化学课题组2006年10月 2 内容 冯康对世界科学的重大贡献Euclid空间辛空间Hamilton力学的辛结构正则变换的辛结构辛算法应用实例 3 Schr dinger Hamilton原理已经成为现代物理学的基石 Hamilton原理将不同的物理规律纳入了统一的数学形式 现在问题就归结到 怎样才能对Hamilton力学的运动方程作正确的数值计算 一切Hamilton体系的动力学演化都使辛度量保持不变 即都是辛 正则 变换 一切解Hamilton方程 正确 的离散算法都应当是辛变换的 冯康 1997年国家自然科学一等奖 哈密尔顿系统辛几何算法 Lax 他的声望是国际性的 丘成桐 中国 在数学历史上很出名的有三个 一个是陈省身教授在示性类方面的工作 一个是华罗庚在多复变函数方面的工作 一个是冯康在有限元计算方面的工作 1998年3月11日 中国科学报 4 冯氏大定理 同一物理定律的不同的数学表述 尽管在物理上是等价的 但在计算上是不等价的 冯康 如果在算法中能够保持辛几何的对称性 将可避免人为耗散性这类算法的缺陷 成为具有高保真性的算法 在天体力学的轨道计算 粒子加速器中的轨道计算和分子动力学计算中得到广泛的应用 5 冯康 1920 1993 的学术成就 1965年发表论文 基于变分原理的差分格式 国际学术界承认冯康独立发展了有限元方法 仅获1982年国家自然科学二等奖 冯康得悉非常难过 曾打算将申请撤回 前国际数学会理事长J L Lions教授1981年说 中国学者在对外隔绝的环境下独立创造了有限元 在世界上是最早之列 今天这一贡献已为全人类所共享 1984年以后创建的 哈密尔顿系统的辛几何算法 1991年评为国家自然科学奖二等奖 冯康获悉后撤回申请 直到1997年底 在冯康去世四年之后 终于授予了国家自然科学一等奖 石钟慈 国际上最早系统地研究并建立辛几何算法的 6 数学地位 7 外微分辛几何 辛几何的基础是外微分形式 外微分形式是如下概念推广到高维的产物 1 作功 在场中沿某一路径所作的功 2 流量 单位时间内流体穿过某曲面的量3 面积或体积 平行四边形面积或平行六面体体积 外微分形式中有 1 形式 2 形式 等辛构造就是非简并的闭2 形式 8 Euclid空间 对称性 线性 k为任意实数 c是V中的任意向量 非简并性 当且仅当时才 符合如下内积定义的线性空间V称为 Euclid空间 然后就可以给出向量的长度 正交 单位向量等概念 9 辛空间 SimplecticSpace 反对称性 双线性 非简并性 若向量a对于W中的任意向量b均有 则 具有如下内积定义的线性空间W为 辛空间 这种内积称为 辛内积 10 辛空间 度量 作功 面积 或体积 流量等辛内积 2维 a b平行四边形面积2n维 单位辛矩阵 11 单位辛矩阵的性质 若A为对称阵 且 则 证明 12 Euclid空间和辛空间的对应关系 13 Hamilton力学的辛结构 14 正则变换的辛结构 正则变量从变换到记为 即 M 辛变换 15 正则变换M的性质 16 无穷小辛阵 定义 若 则该2n阶矩阵称为 无穷小辛阵 设为对称阵 当且仅当时 为无穷小辛阵 证明略 若为无穷小辛阵 则为辛阵 若为无穷小辛阵 又若非奇异 则为辛阵 17 辛阵 2 当且仅当和 则 都为辛阵 3 是辛阵 4 当且仅当 则是辛阵 5 当且仅当和 则是辛阵 1 是辛阵的充要条件 18 线性Hamilton体系的辛差分格式 线性Hamilton体系 Hamilton函数是的二次型 且 其中 为无穷小辛阵 为辛阵 积分 19 20 中点Euler法的辛格式 h为时间步长 因为为无穷小辛阵 且非奇异即 故步进算符为辛阵 故为辛格式 21 可分 线性Hamilton体系的中点Euler公式 可分 线性Hamilton体系 22 Euler中点法 演绎见后页 23 演绎细节 24 前面我们已经证明了是辛阵 所以上面算法是辛格式 25 基于Pad 逼近的辛格式 线性Hamilton体系相流有理Pad 逼近 称为 l m阶对ex的Pad 逼近 即 可分体系 26 用以下构造的差分格式都是辛格式 1 1 逼近 就是Euler中点格式 27 可分线性Hamilton体系的交叉显式辛格式 差分 28 当且仅当和时 和都为辛阵 当且仅当 则是辛阵 现在是 所以也是辛阵 故为辛格式 29 演绎细节 30 可分线性Hamilton体系的交叉显式辛格式 差分 h 时间步长 31 验证 验证完毕 32 实例1 谐振子的相空间轨迹 a Runge Kutta法3000步 步长0 4 人为耗散 轨道收缩 b Adams法步长0 2 人为反耗散 轨道发散 c 蛙跳法 步 步长0 1 初 中 末各取三段1000步的结果完全吻合 33 实例2 非谐振子的相空间轨迹 a 与 b 为同一个蛙跳法模拟的分段取样结果 c 二阶辛算法1000步 初 中 末三段结果完全吻合 最初1000步轨道失真 第9000 10000步轨道继续失真 蛙跳法即二步中心差分法 它对于非线性方程不是辛算法 34 实例3 Huygens振子 a Runge Kutta法步长0 10000005 9x105步 趋于左吸引子 b Runge Kutta法步长0 10000004 9x105步 趋于右吸引子 c 二阶辛算法4条轨道 每条各108步 步长0 1每条轨道的初 中 末各取三段500步的结果完全吻合 具有超长期跟踪能力 位于双纽线之外的任意初始相点趋于左右两个假吸引子的几率相同 35 实例4 椭球面上的测地线 a Runge Kutta法轨道不趋稠密 步长0 05658 104步频率比 b 辛算法轨道趋于趋稠密 无理数 36 实例5 椭球面上的测地线 步长0 033427 105步周期 25频率比 11 16 有理数 a Runge Kutta法轨道不封闭 b 辛算法轨道封闭 37 实例6 Kepler轨道 当频率比为有理数时 应当形成封闭轨道 步长0 01605 2 5x105步频率比 11 20 有理数 a Runge Kutta法轨道不封闭 b 辛算法轨道封闭 38 实例7 Li2分子的经典轨迹法 设原子位置折合质量广义位置广义动量动能势能取Morse势Hamiltian量 39 Li2分子的经典轨迹的正则方程 Li2分子态的参数 1 设初态为 步长0 005 40 1 振幅 周期 a 辛算法 长达106步时还保持振幅恒定 周期性恒定 b Runge Kutta法 5000步之后振幅变小 周期变短 41 2 相空间轨迹 a 辛算法 长达106步时还保持总能量恒定 相空间轨迹稳定 b Runge Kutta法 104步之后总能量急剧下降 相空间轨迹沿q方向收缩 5 104步时已经面目全非 42 实例说明 8种实例 简谐振子 Duffing振子 非线性振子 Huygens振子 Cassini振子 二维多晶格与准晶格定常流 Lissajous图形 椭球面测地线流 Kepler运动 说明了在整体性 结构性和长期跟踪能力上辛算法的优越性 一切传统非辛算法 无论精度高低均无例外地全然失效 一切辛算法无论精度高低均无例外地过关 均具有长期稳健的跟踪能力 显示了压倒性的优越性 43 Hamilton体系的守恒律 辛算法保持了Hamilton体系具有的两个守恒律 1 相空间体积的不变性 Liouville Poincar 守恒律2 运动不变量 如能量 动量 角动量的守恒辛算法能够在数值计算中保持辛变换的结构 于是就会得到高的稳定性 辛算法的差分方法被认为是目前最稳定 高效的计算方法 最适合用于经典力学体系 辛算法不含人为耗散性 先天性地免于一切非哈污染 是 干净 的算法 44 传统算法除了极个别例外 均为非辛算法 大都是为了渐近稳定体系设计的 都含有耗散机制以保证计算稳定性 Hamilton体系不具有渐近稳定性 所以传统算法都不可避免地带进人为耗散性 虚假吸引子及其它种种非哈体系本身具有的寄生效应 45 Refs 1 余扬政 冯承天 物理学中的几何方法 高等教育出版社 施普林格出版社 1998年 2 Arnold V I MathematicalMethodsofClassicalMechanics Springer Verlag Heidelberg 1978 中译本 齐民友译 经典力学的数学方法 第4版 高等教