三角板问题.doc

1 三角板问题 1 将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起 如果 1 40 那么 2 若 AOD 145 则 BOC 例 2 如图 2 将一副三角板重叠在一起 使直角顶点重合于 D 点 则 AOB DOC 例 3 如图 3 将一副三角尺如图放置 已知 AE BC 则 AFD 的度数是 例 4 一副三角板如图 4 所示叠放在一起 则图中 的度数是 观察 与 1 易得所求问题相同 图 4 是 2010 河南中考题 例 5 一副三角板按图 5 所示叠放在一起 若固定 AOB 将 ACD 绕着公共顶点 A 按 顺时针方向旋转 度 0 180 当 ACD 的一边与 AOB 的某一边平行 时 相应的旋转角 的值是 例 6 取一副三角板图 6 1 拼接 固定三角板 ADC 将三角板 ABC 绕点 A 依顺时针方向 旋转一个大小为 的角 0 45 等到 ABC 如图 6 2 所示 试问 1 当 为多少度时 能使得图 6 2 中的 AB DC 2 当旋转至图 6 3 位置时 此时 又为多少度 图中你能找出哪几对相似三角形 并求出其中一对的相似比 3 连接 BD 当 0 45 时 探寻 DBC CAC BDC 值的大小变化情况 并 给出你的证明 例 7 将两块三角板如图 7 放置 其中 C EDB 90 A 45 E 30 AB DE 6 求重 叠部分四边形 DBCF 的面积 如图 7 已知 AB 14cm 求阴影部分面积 2010 吉林 2 例 8 将一副三角尺如图 8 摆放在一起 连接 AD 试求 ADB 的正切值 例 9 如图 9 1 一副三角板满足 AB BC AC DE 操作 将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上 再将三角板 DEF 绕 点 E 旋转 并使 DE 与 AB 交于点 P EF 与 BC 交于点 Q 探究 1 在旋转过程中 1 如图 9 2 当 1 时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系 并给出证明 EA CE 2 如图 9 3 当 2 时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系 并说明理由 EA CE 3 根据你对 1 2 的探究结果 试写出当 m 时 EP 与 EQ 满足的数量关系式 EA CE 其中 m 的取值范围是 直接写出结论 不必证明 探究 2 如图 9 3 若 AC 30cm 连接 PQ 设 EPQ 的面积为 S cm2 在旋转过程中 1 S 是否存在最大值或最小值 若存在 求出最大值或最小值 若不存在 说明理由 2 随着 S 取不同的值 对应 EPQ 的个数有哪些变化 求出相应 S 值的取值范围 例 10 如图 10 小颖利用一个锐角是 30 的三角形测量一棵树的高度 已知她与树之间的 水平距离 BE 为 5m AB 为 1 5m 即小颖的眼睛距地面的距离 那么这课树的高是 3 例 11 如图 11 已知 EF 是 O 的直径 把 A 为 60 的直角三角板 ABC 的一条直角边放 在直线 EF 上 斜边 AB 与 O 交于点 P 点 B 与点 O 重合 将三角板 ABC 沿 OE 方向平 移 使得点 B 与点 E 重合为止 设 POF x 则 x 的取值范围是 例 12 如图 12 在矩形 ABCD 中 AD 2AB E 是 AD 的中点 一块三角板的直角顶点与 E 点重合 将三角板绕点 E 按顺时针方向旋转 当三角形的两直角边与 AB BC 分别相交 于点 M N 时 观察或测量 BM 与 CN 的长度 你能得到什么结论 并证明你的结论 例 13 在 ABC 中 AB AC CG BA 交 BA 的延长线于点 G 一等腰直角三角尺按如图 13 1 所示的位置摆放 该三角尺的直角顶点为 F 一条直角边与 AC 边在一条直线上 另一条直角边也恰好经过点 B 1 在图 13 1 中请你通过观察 测量 BF 与 CG 的长度 猜想并写出 BF 与 CG 满足的数 量关系 然后证明你的猜想 2 当三角尺沿 AC 方向平移到图 13 2 所示的位置时 一条直角边仍与 AC 边在同一 直线上 另一条直角边交 BC 边于点 D 过点 D 作 DE BA 于点 E 此时请你再通过观察 测量 DE DF 与 CG 的长度 猜想并写出 DE DF 与 CG 之间满足的数量关系 然后证明 你的猜想 3 当三角尺在图 13 2 的基础上沿 AC 方向平移到图 13 3 所示位置 点 F 在线段 AC 上 且点 F 与点 C 不重合 时 图 13 2 中的猜想是否仍然成立 不用说明理由 例 14 用两块相同的含 30 角的三角尺如图 14 放置 若 AD 6 求三角尺各边的长 6 例 15 如图 15 两个全等的含 30 60 的三角板 ADE 和 ABC 如图所示放置 E A C 三点在一条直线上 连接 BD 取 BD 中点 M 连接 ME MC 试判断 EMC 的形状 并说明理由 4 例 16 将两块全等的含 30 角的三角尺如图 16 1 摆放在一起 它们的较短直角边为 3 1 将 ECD 沿直线 l 向左平移到图 16 2 的位置 使 E 点落在 AB 上 则 CC 2 将 ECD 绕点 C 逆时针旋转到图 16 3 的位置 使点 E 落在 AB 上 则 ECD 绕点 C 旋转的度数为 3 将 ECD 沿直线 AC 翻折到图 16 4 的位置 ED 与 AB 相交于点 F 求证 AF FD 例 17 把两块全等的直角三角板 ABC 和 DEF 叠放在一起 使三角板 DEF 的锐角顶点 D 与 三角板 ABC 的斜边中点 O 重合 其中 ABC DEF 90 C F 45 AB DE 4 把 三角板 ABC 固定不动 让三角板 DEF 绕点 O 旋转 设射线 DE 与射线 AB 相交于点 P 射线 DF 与线段 BC 相交与点 Q 1 如图 17 1 当射线 DF 经过点 B 即点 Q 与点 B 重合时 易证 APD CDQ 此时 AP CQ 2 将三角板 DEF 由图 17 1 所示的位置绕点 O 沿逆时针方向旋转 设旋转角为 其中 0 90 问 AP CQ 的值是否改变 说明你的理由 3 在 2 的条件下 设 CQ x 两块三角板重叠面积为 y 求 y 与 x 的函数关系式 例 18 2008 山东威海 1 把两个含有 45 角的直角三角板如 图 18 1 放置 点 D 在 BC 上 连结 BE AD AD 的延长线交 BE 于点 F 求证 AF BE 5 2 把两个含有 30 角的直角三角板如图 18 2 放置 点 D 在 BC 上 连结 BE AD AD 的延长线交 BE 于点 F 问 AF 与 BE 是否垂直 并说明理由 例 19 两个大小不同的等腰直角三角板如图 19 1 所示放置 图 19 2 是由它抽象出来 的几何图形 B C E 在同一条直线上 连接 DC 1 请找出图 19 2 中的全等三角形 并给予证明 说明 结论中不得含有未标识的 字母 2 证明 DC BE 关于三角板的中考热点关于三角板的中考热点 1 1 一副三角板如图所示叠放在一起 则图中 一副三角板如图所示叠放在一起 则图中 的度数是的度数是 2 2 把两块含有 把两块含有 30300 0的相同的直角尺按如图所示摆放 的相同的直角尺按如图所示摆放 使点使点 C C B B E E 在同一条直线上 连结在同一条直线上 连结 CDCD 若 若 AC 6cmAC 6cm 则 则 BCD BCD 的面积是的面积是 3 3 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置 下列结论 下列结论 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4 4 3 3 2 4 2 4 90 90 4 4 4 5 4 5 180180 其中正确的个数其中正确的个数 是 是 A 1A 1 B 2B 2 C 3C 3 D 4D 4 4 两个大小不同的等腰直角三角形三角板 两个大小不同的等腰直角三角形三角板 1 2 3 4 5 第 3 题 图 图 1图 2 D C E A B 第 22 题 6 如图如图 1 所示放置 图所示放置 图 2 是由它抽象出的几何图形 是由它抽象出的几何图形 BCE 在同一条直线上 连结在同一条直线上 连结DC 1 请找出图 请找出图 2 中的全等三角形 并给予证明中的全等三角形 并给予证明 说明 结论中不得含有未标识的字母 说明 结论中不得含有未标识的字母 2 证明 证明 DCBE 5 5 1 1 把两个含有 把两个含有 45 45 角的直角三角板如图角的直角三角板如图 1 1 放置 点放置 点D D在在 BCBC上 连结上 连结BEBE ADAD ADAD 的延长线交的延长线交BEBE于点于点F F 求证 求证 AFAF BEBE 2 2 把两个含有 把两个含有 30 30 角的直角三角板如图角的直角三角板如图 2 2 放置 放置 点点D D在在BCBC上 连结上 连结BEBE ADAD ADAD的延长线交的延长线交BEBE于点于点F F 问问AFAF与与BEBE是否垂直 并说明理由 是否垂直 并说明理由 6 6 将两块全等的含 将两块全等的含 30 30 角的三角尺如图角的三角尺如图 1 1 摆放在一起 它们的较短直角边长摆放在一起 它们的较短直角边长 为为 3 3 1 1 将将 ECDECD沿直线沿直线l l向左平移到图向左平移到图 2 2 的位置 使的位置 使E E点落在点落在ABAB上 则上 则 CCCC 2 2 将将 ECDECD绕点绕点C C逆时针旋转到图逆时针旋转到图 3 3 的位置 使点的位置 使点E E落在落在ABAB上 则上 则 ECDECD绕绕 点点C C旋转的度数旋转的度数 3 3 将将 ECDECD沿直线沿直线ACAC翻折到图翻折到图 4 4 的位置 的位置 EDED 与与ABAB相交于点相交于点F F 求证 求证 AFAF FDFD 图 1 A F B CE D A B D CE 图 2 F D 1 2 第 23 题 图 A CB ED E A CB E Dl 3 l D F A CB E D 4 A CB E Dl E C 7 7 7 含 含30 角的直角三角板角的直角三角板ABC 30B 绕直角顶点 绕直角顶点C沿逆沿逆 时针方向旋转角时针方向旋转角 90 再沿 再沿A 的对边翻折得到的对边翻折得到 A B C AB与与B C 交于点交于点M A B 与与BC交于点交于点N A B 与与 AB相交于点相交于点E 1 1 求证 求证 ACMA CN 2 2 当 当30 时 找出 时 找出ME与与 MB 的数量关系 并加以说的数量关系 并加以说 明 明 13 如图 如图 1 将斜边长为 将斜边长为 6cm 的直角三角板放置在直角坐标系中 的直角三角板放置在直角坐标系中 直角顶点与原点重合 直角边分别与直角顶点与原点重合 直角边分别与 x 轴 轴 y 轴重合 且轴重合 且 MNO 60 将长和宽分别为 将长和宽分别为 6cm 2cm 的直尺的直尺 ABCD 的长边与的长边与 直线直线 MN 重合 其中重合 其中 C 点与点与 N 点重合 如