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第三节 刚度矩阵 节点载荷与节点位移之间的关系一、 单元刚度矩阵1. 单元刚度矩阵单元e是在节点力作用下处于平衡。节点i的节点力为 （i , j , m轮换）则单元e的节点力列阵为单元应力列阵为假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元e的三个节点的虚位移为单元虚应变列阵为参照式（3-7），则单元虚应变为作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为：单元内的应力在虚应变上所做的功为：根据虚位移原理，可得单元的虚功方程或故有将式（3-10）代入，的 （3-27）简记为 （3-29） -上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程）其中 （3-28） 称之为单元刚度矩阵（简称为单刚），是矩阵。 如果单元的材料是均质的，矩阵中的元素也是常量，且在三角形常应变的情况下，矩阵中的元素也是常数，当单元的厚度也是常数时，注意到，于是单元刚度矩阵可简化为 （3-30） 将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式： （3-31）其中任一子块 (r，s=i，j，m）是一个22子矩阵，为 (r，s=i，j，m）（1）对于平面应力问题将和平面应力问题的弹性矩阵代入，得 (r，s=i，j，m） （3-32）（2）对于平面应变问题将和平面应变问题的弹性矩阵代入，得(r,s=i，j，m） （3-33）（注：是将式（3-32）中的分别换成 和）2. 单元刚度矩阵的性质（1） 的物理意义式（3-29）可完整写为可见每个节点在x和y方向上有二个平衡方程，3个节点共有六个平衡方程。单元刚度矩阵中的任一元素称为刚度系数，其物理意义为：-当单元的第j个节点有单位位移，而其它节点位移为零时，需在单元第i个节点位移方向上施加的节点力的大小。 例如， 表示是第3个节点有水平（x）方向单位位移（即）时，而其它节点位移分量均为零时，在第2个节点所引起的铅垂（y）方向的节点力。（2）单元刚度矩阵只取决于单元形状，大小，方向和弹性常数，而与单元的位置无关。即不随单元坐标平移而改变，这叫单元刚度的平移原理。例如图示结构，有 另外，可以证明 则有 即单元旋转后，单元刚度矩阵相等。这是单元刚度旋转原理。 （3） 单元刚度矩阵是对称矩阵。因为 所以有 （4）单元刚度矩阵是奇异矩阵。即 因为 当节点位移已知时，节点力是唯一确定的，而已知时，不能唯一确定，因为单元没有支承，可以产生任意的刚体位移。根据上述性质：对于上图结构，在节点力为零时，单元仍可产生刚体位移，即此时 ， ，单元产生刚体位移，为任意的。故有由于的任意性，则 ， 从而得同理可得：单元刚度矩阵任意一行（列）元素之和为零。（5）单元刚度矩阵主对角线上的元素恒为正。即 二、 整体分析假设弹性体被分成m个单元和n个节点，对每一个单元进行前面的运算，则得到m组型如的方程。把这些方程集合起来，便可得到表征整体弹性体平衡的刚度方程： （3-37）式中 1. -整体结构的节点位移列阵，是由各节点位移按节点号码从小到大顺序排列组成的，即其中 （i=1, 2，n）例如图示结构有2. -整体结构的节点载荷列阵， 是由各节点载荷按节点号码从小到大顺序排列组成的，即 其中 （i=1, 2，n）例如图示结构有2. -整体结构的刚度矩阵（总刚）（1）的组集（“对号入座”法）例图示结构有单元1单元2注：在单元刚度矩阵中，各子块的下标表示该子块在总刚中的位置。则总刚为（2）总刚的性质. 整体刚度矩阵的物理意义中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一个节点在坐标轴方向发生单位位移，而其它节点都保持为零状态，在各节点上所需要加施加的节点力。由式可以看出，令节点1在坐标轴x方向有单位位移，即，而其余的节点位移为零时，即v1=u2=v2=u3=v3= u2n=v2n=0，这样就可得到节点载荷列阵等于总刚的第一列元素组成的列阵，即. 总刚是对称矩阵. 总刚是奇异矩阵. 总刚主对角线上的元素恒为正，即 . 总刚是一个稀疏矩阵。若遵守一定的节点编号规则，则非零元素集中在主对角线附近呈带状分布。单元越多，总刚越稀疏。同属于一个单元的两个节点号码非零元素集中在主对角线两侧，在包括对角线元素在内的半个带形区域中，具有最多元素的数目称为最大半带宽（半带宽），用B表示：B=（max单元节点号码的最大差值+1）节点自由度数半带宽取决于节点号码的最大差值。半带宽越窄，计算机的存储量就越少。所以，在划分有限元网格进行节点编号时，要采用合理的编码方式，使同一单元中两节点的号码差尽可能地小，以便使半带宽小，节省存储空间，提高计算效率。而且还可以大幅度减少求解方程所需的运算次数，其效果对大型结构显得尤为突出。 （a） （b）对于图（a） B=(7-1)+