第十四章：排列、组合与概率(1).doc

排 列 与 组 合【课题】计数基本原理教学目标：1、介绍两个重要的计数原理：乘法原理和加法原理。2、掌握乘法原理，并能应用它来分析和解决一些简单的计数问题。关键：灵活应用，理解万岁，切忌钻牛角尖。1：加法原理 做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同方法，在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。2：乘法原理 做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法做第步有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。3加法原理和乘法原理的共同点是，它们都是研究完成一件事情，共有多少种不同的方法。不同点在于完成一件事情的方式不同，加法原理是“分类完成”，即任何一类办法中任何一个方法都能独立完成这件事乘法原理是“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情。例题讲解：例1 某班级有男三好生人，女三好生人； (1)从中任选一人去领奖，有多少种不同选法? (2)从中任选男、女三好生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法?解：点评：解题时分清用加法原理还是乘法原理的关键在于“分类完成”还是“分步完成”；例2 在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?解：点评 在具体分类或分步时，常遇到困难，要多练习，多积累经验，掌握思维方法，逐步做到 恰当分类，合理分步例3 有不同的中文书11本，不同的英文书8本，不同的日文书5本。从中取出不是同国文字的书2本，有多少种不同的取法?解：例4 乘积展开后共有多少项？解：例5：设村到村有条路可走，村到村有条路可走，问由村经村到村，再由村经村返回村，共有多少种不同的走法？解：练习：1集合，若复数，求满足条件复数的个数;2，则方程 可表示多少个不同的圆；3用中取出三个数组成一个三位数，有多少种取法；4用中取出三个数组成一个没有重复数字的三位数，有多少种取法;5用中取出三个数组成一个三位数，有多少种取法;6用中取出三个数组成一个没有重复数字的三位数，有多少种取法;7用中取出三个数组成一个没有重复数字三位偶数，有多少种取法;8如图为一电路图，从到共有多少种不同的线路可通电；（回避短路情形）9用种不同颜色给所示图形中标有、的各部分涂色，相邻两块区域涂不同的颜色，则不同的涂法有多少种？10有四种卡片上面写有四个不同的数字，用它们组成一个四位数，但不能作为个位数字，不能作为十、百、千位数字，问这张卡片可以组成多少个不同的四位数？11有多少个不同的偶正约数？12有多少个正约数？其中偶正约数多少个？反思：注重逻辑推理，强调一题多解，积极讨论与被讨论。【排列与排列数公式】（一）教学目标：理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它分析和解决一些简单的计数问题。1元素 元素是指被取的对象。2排列 从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；一是“按照一定顺序排成一列”。这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关。所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为我们判断问题是否是排列问题的标准。在具体问题中，究竟何时有关，何时无关，由问题的性质和条件来决定。如从1，2，3三个数中每次取出两个不同的数，相乘，有多少不同的积?相除，有多少不同的商?这里与“顺序无关”，而与“顺序有关”故是排列问题，则不是排列问题3从排列的定义知道，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。4排列的方法一般可采用框图法或树图法解决；5排列数从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数，通常用符号表示；排列数与一个排列是两个完全不同概念，根据定义，一个排列是具体的一件事，它不是一个数；而排列数是所有排列的个数，它是一个数，解题时应分清求排列还是排列数；例题讲解：例1 判断下列问题是否是排列问题：(1)从1，2，3，5中任取两个不同的数相减(除)可得多少种不同的结果?(2)从1，2，3，5中任取两个不同的数相加(乘)可得多少种不同的结果?(3)有12个车站，共需要准备多少种普通客票?(4)在(3)中共有多少种不同的票价?(5)某班有50名同学，假期约定每两人通一次信，共需写信多少封?(6)把(5)中写信问题改为通电话，共需通电话多少次?(7)把(5)中通信换成互赠照片，共需准备照片多少张?(8)把(5)中通信换成相互握手，共需握手多少次?(9)平面内有10个点，无任何三点共线，由这些点可连射线多少条?(10)在(9)中可连直线多少条?点评 具体问题中取出的元素与顺序有无关系，由问题的条件和性质来决定，分清问题的性质是作出正确判断的前提和关键例2 写出从四个元素中任取两个元素的所有排列解：点评 列出所有排列的方法是树图法或框图法具体排列的要点是每一个字母，如与除此之外的其他所有字母排列练习：1北京、上海、广州三个民航站间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票?2写出由数字1，2，3，4组成的没有重复数字的三位数例3 在这个不同数字中，任意取个不同数字构成一个三位数，问共有多少个不同的三位数？练习：3个班级到个村庄学农，有几种不同的安排方法；4现有张五元，张十元，张五十元和张一百元的人民币，问一共能组成多少种不同的币值；5用编号为的球放入编号为的盒内，每盒内放一个球，仅有一个编号相同的放法总数是多少？6教室里有支日光灯，问共有多少种不同的照明方式？7从个同学中挑选人分别担任正组长、副组长和干事，问共有多少种不同的选法？8设有四个不同品种的种子和四种不同的肥料分别配置到四块不同的土地上培养，使每块地都有一种种子，一种肥料，问有多少种配置方案？9要安排五名工人分别当车工、钳工、刨工、铣工和油漆工，已知工人甲不能当钳工和漆工，问共有多少种不同的安排方法？10将本书放在书架上，并且其中的某本书必须相邻地放在一起，有多少种放法？11五辆军车与两辆运输车成一列行进，军车中的一辆指挥车只能放在首或尾，两辆运输车必须相连，问有多少种不同排列方法？12从这九个数字中任取五个排成一个无重复数字的五位数，要求奇数位上必须是奇数，这样的五位数有多少？13在各位数字都不重复的四位数中，有多少个奇数？14八位学生并排照相，甲乙两人分站两端，有多少种坐法？甲乙丙三个人任意两个不得相邻而坐，有多少种坐法？【排列与排列数公式】（二）排列数从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数，通常用符号表示；在求排列数时，可以认为所构成的每个排列是从不同元素中，每次取出个元素，排在个空位上得到的。则根据乘法原理，有；其中，我们把这个公式称为排列数公式。另记：，读作阶乘；公式变形：当时， 所以，排列数公式为：特别，我们规定例题讲解：例1：计算：；计算：；例2：证明：；证明：；例3：解方程或不等式；练习：1求证：；2求证：；3求证：；求和：；4解方程：；5解方程：；6解方程：；7设，则的个位数字是多少？【排列的应用问题】（一）1排列应用问题一般可分为两类，即无限制条件的排列问题和带限制条件的排列问题常见题型有：(1)排队问题；(2)数字问题；(3)与几何有关的问题2解排列应用问题的注意点 (1)认真审题 根据题意分析它属什么数学问题?题目中的事件是什么?有无限制条件?通过怎样的程序来完成这个事件?用什么计算方法?(2)弄清问题的限制条件注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考(3)恰当分类，合理分步3解排列应用问题的基本思路和常用方法 (1)基本思路直接法即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数。 间接法即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数。 (2)常用方法特殊元素、特殊位置分析法，排除法(亦称去杂法)，对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等等。从个不同的元素中选出个元素的排列，要求某个元素必须在某个固定的位置的排列数为；（特殊元素特殊位置法）个不同元素排成一列，其中个元素必须在相邻位置的排列总数为。（捆绑法）个不同元素排成一列，其中某个元素都不相邻的排列总数为（插空法）例题讲解：例1 从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植方法?例2 4个学生和2个教师排成一排，(1)如果2个教师必须相邻且排在正中间位置，排法种数为多少?(2)如果2个教师不相邻排列，排法种数为多少?解：点评 元素必须相邻排列，可以先将相邻的元素看作一个整体或“集团”，然后分“集团”间排列与“集团”内部排列两个步骤计数；考虑元素不相邻的排列，可以制造空档插进去，即先制造空档，后“插空”计数。例3 共六人站成一行，不站在排头，也不站在排尾，有多少种站法?解：练习：1有本不同的书，其中数理化各三本，先从中取出本，放在书架上，第一本放数学书，第二本放物理书，最后三本放化学书，有几种不同的方法？2某班有四个小组分别有人数，现选一人管理生活，有多少种选法；每小组选一组长有多少种选法？3四名学生报名参加跑步、跳高和乒乓球比赛，每人限报一项，则报名方式总数位多少种；这四名学生争夺三项比赛冠军，获得冠军的可能情况是多少种?4一个火车站有股岔道，停放列不同的火车，每股岔道只能停放一列火车，则不同的停放方法有多少种？5人参加演出，现有件衣服，条裙子，每人选一套衣服有多少种选法？6个人并排站成一排，其中甲、乙两人站在两端，则不同站法有多少种？7某铁路线上共有种车票，每张车票都标明起讫站点，则可供选用的车站个数是多少？8共五人并排站成一行，如果必须站在的右边(可以不相邻)有多少种不同的站法?9一天要排语文，数学，英语，生物，体育，班会六节课(上午四节，下午两节)要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，共有多少种不同排课方法?10六个人站在一起，排成一排，其中甲必须站在乙的左边，问有多少种不同的站法？六个人站在一排，甲不站在最左端，甲也不与乙相邻，共有多少种不同的排法？11在一排八个房间中安排三位客人住宿，每人一间并且每人房间的左右都有空房，问有多少种安排方法？12四名女生五名男生排队，最后一位女生排在第五位的排法有多少种？13有标号为的五个红球和标号为的两个白球排成一排，若要使白球不相邻可有多少种排法；若要使两个号球相邻，同时白球不相邻，又有多少种方法？14个人站成一排照相， 其中不能站在中间有多少种排法； 其中不能站在两端有多少种站法； 其中不能站在排头，不能站在排尾，有多少种方法； 其中、要站在一起，有多少种站法； 其中、不能相邻站在一起有多少种站法？【排列的应用问题】（二）1数字问题是排列应用中的常见题型，解这类题目除了要运用解一般排列应用题的方法外，还应特别注意这类问题的一些特点：(1)隐蔽性数字问题限制条件通常很隐蔽，如0不能排首位(即最高位)，1不能作为对数的底等(2)专业性如解整除问题必须了解整除性的有关知识等(3)灵活性数字问题出题灵活，求解方法多，应反复研究，不断总结，积累经验，提高解题能力2由于排列计数问题的结果数量较大，难以直接检验其正确性因此，要注重用不同的解题方法求得结果从而获得检验对于选择题的答案要谨慎选择，注重等价答案的不同形式，避免误选例题讲解：例1 用0，1，2，3，4，5六个数字，可以组成多少个没有重复数字的：五位数；六位偶数；能被25整除的四位数；大于201345的自然数。解：例2 用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的五位数，按照从小到大的顺序排列构成一个数列， (1)这个数列共有多少项?它们的和是多少? (2)43251是这个数列的第几项?解：例3 在和之间有多少个没有重复数字且能被整除的数;解：例4 从这九个数字中任取两个不同的数分别作为一个对数的真数和底数，一共可以得到多少个不同的对数值？其中比大的有几个？解：练习：1、求值：2、若个字母的全排列数与个字母的全排列数之比为，求的值；3名同学排成一排，问：共有多少种排法？甲必须站在某一固定位置？甲必须站中间，乙必须站甲旁边？甲乙必须相邻？甲乙丙三人必须相邻？甲不能站在中间？甲必须站在头尾？甲不能站头尾？甲乙必须排头尾？甲乙不能排头尾？甲乙丙顺序不变？甲乙不能相邻？甲乙丙不能相邻？甲乙相邻，丙不站头尾？4十人排成一排，多少种排法？十人分两排，每排五人，有多少种方法？十人分三排，前排二人，中排三人，后排五人，有多少种方法？5人排成两排，每排人，甲在前排中间，乙在后排两旁，有多少种方法？6有个男运动员和个女运动员排成一排