1112高中数学 2.5 用样本的数字特征估计总体的数字特征同步学案（PPT） 新人教A版必修3.ppt

学点一 学点二 学点三 1 如果有n个数x1 x2 xn 那么 叫做这n个数的平均数 总体中所有个体的平均数叫做 样本中所有个体的平均数叫做 2 s 标准差的平方s2叫做方差 s2 总体平均数 样本平均数 其中xn是 n是 x是 是反映总体波动大小的特征数 通常用样本方差估计总体方差 当样本容量很大时 样本方差总体方差 第n个样本数据 样本容量 样本平均数 方差 很接近 学点一用样本平均数估计总体平均数 分析 本题考查平均数公式 1 一个球队所有队员的身高如下 单位 cm 178 179 181 182 176 183 176 180 183 175 181 185 180 184 问这个球队的队员平均身高是多少 精确到1cm 解析 方法一 利用平均数的公式计算 178 179 181 180 184 2523 180 方法二 建立新数据 再利用平均数简化公式计算 取a 180 将上面各数据同时减去180 得到一组新数据 2 1 1 2 4 3 4 0 3 5 1 5 0 4 2 1 1 2 4 3 4 0 3 5 1 5 0 4 3 0 2 a 0 2 180 180 方法三 利用加权平均数公式计算 185 1 184 1 183 2 182 1 181 2 180 2 179 1 178 1 176 2 175 1 2523 180 评析 1 平均数公式是一个计算平均数的基本公式 在一般情况下 要计算一组数据的平均数可使用这个公式 2 当数据较大 且大部分数据在某一常数左右波动时 方法二可以减轻运算量 故此法比较简便 方法四 建立新数据 再利用加权平均数公式计算 5 1 4 1 3 2 2 1 1 2 0 2 1 1 2 1 4 2 5 1 3 0 2 0 2 180 180 答 这个球队队员的平均身高是180cm 分析 注意到30天的日产量是30个数据 可直接用定义求平均数 但所给数据多是重复出现的 故简便算法是用加权平均数公式 又由于这组数据都比50稍大一点 因此 也可以利用 新数据 法求平均数 2 某工人在30天中加工一种零件的日产量 有2天是51件 3天是52件 6天是53件 8天是54件 7天是55件 3天是56件 1天是57件 试计算这个工人30天中的平均日产量 解析 方法一 利用加权平均数公式 平均日产量 2 51 3 52 6 53 8 54 7 55 3 56 1 57 54 件 方法二 利用 新数据 法 各个数据减去50后 得到 2个1 3个2 6个3 8个4 7个5 3个6 1个7 新数据的平均数 2 1 3 2 6 3 8 4 7 5 3 6 7 4 故30天中平均日产量为50 4 54 件 评析 本题考查平均数公式 为了了解市民的环保意识 某校高一 1 班50名学生在6月5日 世界环境日 这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况 有关数据如下表 求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数 解 根据平均数和标准差的公式计算即可 平均数 2 6 3 16 4 15 5 13 3 7 学点二用样本标准差估计总体标准差 1 数据501 502 503 504 505 506 507 508 509的标准差是 a 203b c d 1 2 已知样本数据x1 x2 xn的方差是3 则样本数据2x1 2 2x2 2 2xn 2的方差是 分析 1 由标准差定义知 要计算方差或标准差首先应求平均数 2 此题看起来不好求 如果注意整体代换 是否能求出来呢 b 12 解析 1 可知 505 则标准差s 故应选b 2 设样本数据x1 x2 xn的平均数为 方差为s2 数据2x1 2 2x2 2 2xn 2的平均数为 方差为s 2 则 2x1 2 2x2 2 2xn 2 2 x1 x2 xn 2n 2 x1 x2 xn 2 2 2 于是s 2 2x1 2 2 2 2 2x2 2 2 2 2 2xn 2 2 2 2 22 x1 2 22 x2 2 22 xn 2 22 x1 2 x2 2 xn 2 22 s2 即s 2 4s2 s2 3 故s 2 12 评析 方差与平均数有如下性质 设x1 x2 xn的平均数为 方差为s2 则 1 数组x1 b x2 b xn b的平均数为 b 方差为s2 2 数组ax1 ax2 axn的平均数为a 方差为a2s2 3 数组ax1 b ax2 b axn b的平均数为a b 方差为a2s2 对10名高三男生的身高测量后得到如下一组数据 单位 cm 168175171182170173169174178180计算他们的平均身高及标准差 解 由于样本数据较大 且相对集中 考虑整体代换 使数据变小 方便运算 记原样本数据为xi 最大值为182 最小值为168 且 175 令yi xi 175 则得到另一组数据yi 70 47 5 2 6 135 7 0 4 7 5 2 6 1 3 5 10 10 10 1 s2y 36 1 9 64 16 1 25 0 4 36 192 19 2 sy 4 38 从而 175 175 1 174 sx sy 4 38 请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析 学点三用样本的数字特征估计总体情况的实际应用 1 甲 乙两人在相同条件下各射靶10次 每次射靶的成绩情况如图2 5 1所示 分析 根据各个角度对测试结果进行数据统计 计算 再发表看法 1 从平均数和方差相结合看 2 从平均数和中位数相结合看 分析谁的成绩好些 3 从平均数和命中9环以上的次数相结合看 分析谁的成绩好些 4 从折线图上两人射击命中环数的走势看 分析谁更有潜力 解析 根据各问情况作如下统计表 则 1 平均数相同 且s甲2 s乙2 甲比乙优 甲稳定些 2 平均数相同 甲的中位数 乙的中位数 乙的成绩比甲好 3 平均数相同 且乙命中9环以上次数比甲多 乙的成绩比甲好 4 甲的成绩在平均线上波动 而乙处于上升趋势 从第4次以后就没有比甲少的情况发生 所以说乙有较大潜力 评析 平均数 众数 中位数是描述一组数据集中趋势的 方差 极差和标准差则反映各个数据与其平均数的离散程度 正确领悟数据的数字特征的含义 并与具体问题相结合 方可发表看法 作为一个学生应逐步养成这种从实际出发 实事求是的思维习惯 2 甲 乙两台机床在相同的条件下同时产生一种零件 现在从中各抽测10个 它们的尺寸分别为 单位 mm 分别计算上面两个样本的平均数与标准差 如果图纸上的设计尺寸为10mm 从计算结果看 用哪台机床加工这种零件较合适 解 甲 10 2 10 1 10 9 10 1 10 mm 分析 首先计算平均数和方差 平均数 方差的计算公式用简便形式 然后由特征数字的大小作结论 乙 10 3 10 4 9 6 10 10 mm s甲 0 477 mm2 s乙 0 245 mm2 甲 乙 10 s甲 s乙 乙比甲稳定 用乙较合适 评析 本题考查平均数与方差的求法 返回目录 甲 乙两台机床同时生产一种零件 在10天中 两台机床每天出的次品数分别是 分别计算出两个样本的平均数与方差 从计算结果看 哪台机床10天生产中出次品的平均数较小 出次品的波动较小 解析 甲 0 3 1 2 2 3 3 1 4 1 1 5 乙 0 2 1 5 2 2 3 1 1 2 s甲2 0 1 5 2 3 1 1 5 2 2 2 1 5 2 3 3 1 5 2 4 1 5 2 1 7 s乙2 0 1 2 2 2 1 1 2 2 5 2 1 2 2 2 3 1 2 2 0 76 乙 甲 乙机床10天生产中出次品的平均数较小 又 s乙2 s甲2 乙机床出次品的波动较小 1 平均数平均数描述了数据的平均水平 定量地反映了数据的集中趋势所处的水平 2 用样本平均数估计总体平均数两次从总体中抽取容量相同的样本 分别求出样本的平均数 两个样本的平均数一般是不同的 所以用样本平均数去估计总体平均数时 样本平均数只是总体平均数的近似值 1 如何用样本平均数估计总体平均数 1 方差 标准差 极差与数据的离散程度数据的离散程度可以通过极差 方差或标准差来描述 其中极差 全距 是数据组的最大值与最小值的差 它反映了一组数据变化的最大幅度 它对一组数据中的极端值非常敏感 方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小 为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差 2 计算标准差的算法 算出样本数据的平均数 算出每个样本数据与样本平均数的差xi i 1 2 n 2 如何用样本标准差估计总体标准差 算出 xi 2 i 1 2 n 算出 xi 2 i 1 2 n 这n个数的平均数 即为样本方差s2 算出方差的算术平方根 即为样本标准差s 统计在对数据处理时的计算量较大 要借助科学计算器或计算机 一般科学计算器上都设有计算平均数 方差 标准差的按键 使用时要看说明书 不同的计算器的参数可能不同 进入统计状态就可以求值了 1 方差的计算方法 1 定义法 s2 x1 2 x2 2 xn 2 2 简化公式 s2 x12 x22 xn 2 3 新数据 法 s2 其中 xi b 这表明将一组数据全部加或减同一个常数后 所得新数据组的方差不变 这为方差的简化计算带来方便 请读者自行证明此结论 2 统计与数据打交道 整理数据的工作量较大 计算比较麻烦 学习时务必耐心 仔细 否则极易出错 即使用计算器计算也要细心 因为只要错误输入一个数据 就会影响到所得结果 3 关于统计的有关性质及规律 1 若x1 x2 xn的平均数为 那么mx1 a mx2 a mxn a的平均数是m a 2 数据x1 x2 xn与数据x1 a x2 a xn a的方差相等 3 若x1 x2 x