高考数学一轮总复习名师精讲 第9讲反函数课件.ppt

第九讲反函数 回归课本1 反函数概念 函数f x 的定义域为a 值域为b 由y f x 求出x y 对于b中的每一个元素y 在a中都有唯一的x值和它对应 那么x y 叫函数y f x 的反函数 记作 x f 1 y 通常情况下 一般用x表示自变量 故记作 y f 1 x 注意函数y f x 存在反函数的条件是定义域与值域是一一对应的 2 互为反函数三要素之间的关系是 对应法则互逆 定义域 值域互换 3 求y f x 的反函数有三个步骤 由y f x 解得x f 1 y 反解 将x与y互换 得y f 1 x 写出反函数的定义域 即原函数的值域 显然y f x x f 1 y 4 y f x 与y f 1 x 互为反函数 若y f x 的定义域为a 值域为b 则f f 1 x x x b f 1 f x x x a 5 f 1 a b f b a 即点 a b 在反函数图象上 则 b a 一定在原函数图象上 反之亦然 6 互为反函数的两个函数图象关于直线y x对称 互为反函数的两个函数若单调则具有相同的单调性 y f x 与x f 1 y 为同一函数 在同一坐标系下的图象是相同的 7 定义域上的单调函数必有反函数 周期函数不存在反函数 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 8 若函数y f x 的图象关于直线y x成轴对称图形 则f x f 1 x 若y f x 与y g x 关于y x对称 则g x f 1 x 9 分段函数的反函数须分别求出各段函数的反函数再合成 10 反函数问题通常转化为原函数问题解决 11 拓展 1 a b 点关于y x的对称点为 b a 反之亦然 2 点 a b 关于直线y x t的对称点为 b t a t 反之亦然 3 一般地 y f x b 与y f 1 x b 关于y x b对称 12 如果 a b 是y f x 与y f 1 x 的交点 那么 b a 也是二者图象的交点 并且交点不一定在对称轴y x上 考点陪练1 若函数f x 的反函数为f 1 x 则函数f x 1 与f 1 x 1 的图象可能是 解析 因为函数f x 的图象与其反函数f 1 x 的图象关于直线y x对称 将直线y x向右平移一个单位得到直线y x 1 则函数f x 1 与f 1 x 1 的图象关于直线y x 1对称 淘汰b d 在直角坐标系中 易得点 0 1 关于直线y x 1的对称点为 2 1 淘汰c 选a 答案 a 答案 a 答案 d 答案 a 点评 对于有关抽象函数的反函数问题 考生处理起来往往觉得困难 这就要求考生真正正确地理解反函数的定义以及相关的对称性等 如本题 在将一个函数的图象平移过程中 要注意相应的解析式是如何变化的 以及在将函数图象进行对称变换的过程中 其相应的解析式又应当如何变化 只有将这些真正弄清楚 才能正确地解答此题 答案 2 类型一求已知函数的反函数解题准备 1 反函数与原函数的关系 2 分段函数的反函数仍是分段函数 要分段来求 一般的是把各分段上的函数看作独立函数 分别求出它们的反函数 然后再拼合到一起 求得的反函数一定要标明其定义域 点评 1 由反函数的定义可得 求反函数的步骤 求值域 反解 改写 2 分段函数应在各自的条件下 分别求反函数及反函数的定义域 分段函数的反函数也是分段函数 答案 4 点评 1 本题中常见的错误是误认为f 1 x 1 的反函数就是f x 1 其实f 1 x 1 的反函数为f x 1 f 1 x 1 与f x 1 的图象关于直线y x 1对称