辽宁省沈阳市铁路实验中学高二数学下学期期中试题 理 (2).doc

沈阳铁路实验中学20142015学年度下学期期中试题高二数学（理）时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）复数等于（ ）a4i b.-4i c.4 d.-4设，则 a. b. c. d. 若（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）a. b. c. d.曲线f(x)=x32x+1在点(1, 0)处的切线方程为（ ）ay=x+1 by=x1 cy=2x2 dy=2x+2函数的图象如下图所示，则导函数的图象的大致形状是（ ）在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形 1 3 6 10 15则第个三角形数为（ ）a. b c. d.如图所示，由函数 与函数 在区间上的图象所围成的封闭图形的面积为（ ）a b c d已知复数（为虚数单位）为纯虚数数，则的为a b c d已知函数f(x)=在1,+上为减函数，则a的取值范围是（ ）a b. c. d.己知函数是定义域为r的奇函数，且，的导函数的图象如图所示。若正数满足，则的取值范围是（ ）a b c d已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()a(，0) b. c(0,1) d(0，) 定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则 a bc d二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）设是虚数单位，则等于 函数在上的单调递增区间为 设abc的三边长分别为a，b，c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球半径为r，四面体sabc的体积为v，则r等于 已知函数，则的极大值为 .三、解答题（共6小题，共计60分）（10分） (1) 设0,求证：(2)已知中至少有一个小于2。（12分）函数的图像在点p(1,0)处的切线斜率为2.（1）求a,b的值；（2）证明：对任意正实数x恒成立。 （12分）设函数. (1) 求曲线在处的切线方程；(2) 求的单调区间与极值. (3)若方程有实数解,求实数的范围。（12分）已知函数（）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（）若是的极值点，求在上的最大值和最小值.（12分）观察下列等式 第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子照此规律下去（）写出第个等式；（）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想 （12分）已知函数.（1）设函数，求函数的单调区间； （2）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.2014-2015高二下学期期中考试答案daabdbdadbbd【解析】试题分析：因，所以故，易知当时，当时，所以是其极大值点，故（10分） (1) 设0,求证：(2)已知中至少有一个小于2。【解析】试题分析：【1】先作差然后利用综合法的思想证明即可。因为0,所以0，0，从而0，即【2】证明：假设 都不小于2，则 因为，所以，即，这与已知相矛盾，故假设不成立。综上中至少有一个小于2。（12分）函数的图像在点p(1,0)处的切线斜率为2.（1）求a,b的值；（2）证明：对任意正实数x恒成立。 【解析】试题解析：由题设，yf（x）在点p（1，0）处切线的斜率为2解之得 6分因此实数a，b的值分别为1和3（2）证明 （x0）设g（x）f（x）（2x2）2x3ln x，则g（x）12x当0x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0g（x）在 （0，1）上单调递增；在（1，）上单调递减g（x）在x1处有最大值g（1）0，f（x）-（2x-2）0，即f（x）2x-2，得证 12分考点：利用导数研究函数切线及最值（12分）设函数.(1) 求曲线在处的切线方程；(2) 求的单调区间与极值.(3)若方程有实数解,求实数的范围。【解析】（1）2ex-y-e=0(2).令,得; 列表如下 -0+极小值的单调递减区间是,单调递增区间是 极小值= (3) （12分）已知函数（）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（）若是的极值点，求在上的最大值和最小值.【答案】（1）函数求导得，在区间上是增函数，则在恒成立，即在恒成立，在为增函数，则，（2），是的极值点，则，解得，变化如下表：+0-0+-2增函数减函数-18增函数-12所以，【解析】在区间上是增函数，转化为导函数大于等于0在恒成立解；(2)根据是的极值点，求出a的值，然后求在上的最大值和最小值。（12分）观察下列等式 第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子照此规律下去（）写出第个等式；（）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想 【解析】（）第个等式 （）猜测第个等式为 证明：（1）当时显然成立；（2）假设时也成立，即有 那么当时左边而右边这就是说时等式也成立 根据（1）（2）知，等式对任何都成立 已知函数.（1）设函数，求函数的单调区间；（2）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.【解析】（1），定义域为， 1分当，即时，令，令， 2分当，即时，恒成立， 3分综上：当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递增 4分（2）由题意可知，在上